Maqolalar

1.1E: Samolyotda vektorlar uchun mashqlar - Matematika


1 - 10-mashqlar uchun (P (-1,3), Q (1,5), ) va (R (-3,7) ) nuqtalarini ko'rib chiqing. Talab qilingan vektorlarni aniqlang va ularning har birini ifodalang

(a. ) komponent shaklida va

(b. ) standart birlik vektorlari yordamida.

1) ( vecd {PQ} )

Javob:
a. ( vecd {PQ} = -2,2⟩ )
b. ( vecd {PQ} = 2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

2) ( vecd {PR} )

3) ( vecd {QP} )

Javob:
a. ( vecd {QP} = ⟨-2, -2⟩ )
b. ( vecd {QP} = - 2 hat { mathbf i} -2 hat { mathbf j} )

4) ( vecd {RP} )

5) ( vecd {PQ} + vecd {PR} )

Javob:
a. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = -0,6⟩ )
b. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = 6 hat { mathbf j} )

6) ( vecd {PQ} - vecd {PR} )

7) (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} )

Javob:
a. (2 vecd {PQ} → -2 vecd {PR} = -8, -4⟩ )
b. (2 vecd {PQ} -2 vecd {PR} = 8 hat { mathbf i} -4 hat { mathbf j} )

8) (2 vecd {PQ} + frac {1} {2} vecd {PR} )

9) ( vecd {PQ} ) yo'nalishidagi birlik vektori

Javob:
a. ( left langle frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {2}} {2} right rangle )
b. ( frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf i} + frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf j} )

10) ( vecd {PR} ) yo'nalishidagi birlik vektori

11) ({ overset { scriptstyle rightharpoonup} { mathbf v}} ) vektori ((- 1, −3) ) boshlang'ich nuqtasiga va ((2,1) ) terminal nuqtasiga ega. ( Vecs v ) yo'nalishi bo'yicha birlik vektorini toping. Javobni komponent shaklida ifodalang.

Javob:
(⟨ Frac {3} {5}, frac {4} {5}⟩ )

12) ( vecs v ) vektorning boshlang'ich nuqtasi ((- 2,5) ) va terminal nuqtasi ((3, -1) ) mavjud. ( Vecs v ) yo'nalishi bo'yicha birlik vektorini toping. Javobni komponent shaklida ifodalang.

13) ( vecs v ) vektori (y ) - o'qida va boshlang'ich nuqtadan yuqorisida joylashgan (P (1,0) ) va (Q ) nuqta nuqtalariga ega. ( Vecs v ) vektorining kattaligi ( sqrt {5} ) bo'ladigan qilib (Q ) terminal nuqtasining koordinatalarini toping.

Javob:
(Q (0,2) )

14) Vektor ( vecs v ) ning boshlang'ich nuqtasi (P (1,1) ) va (x ) - o'qida va boshlang'ich nuqtaning chap tomonida joylashgan (Q ) terminal nuqtasi mavjud. ( Vecs v ) vektorining kattaligi ( sqrt {10} ) bo'ladigan qilib (Q ) terminal nuqtasining koordinatalarini toping.

15 va 16-mashqlarda berilgan ( vecs a ) va ( vecs b ) vektorlaridan foydalaning.

a. Jami ( vecs a + vecs b ) vektorini aniqlang va uni ikkala komponent shaklida va standart birlik vektorlari yordamida ifodalang.

b. ( Vecs a - vecs b ) vektor farqini toping va uni ikkala komponent shaklida va standart birlik vektorlari yordamida ifodalang.

v. ( Vecs a, , vecs b, ) va ( vecs a + vecs b ) va mos ravishda ( vecs a, , vecs b ) va vektorlari ekanligini tasdiqlang. ( vecs a− vecs b ) uchburchak tengsizligini qondiradi.

d. (2 vecs a, - vecs b, ) va (2 vecs a− vecs b. ) Vektorlarini aniqlang, vektorlarni ikkala komponent shaklida va standart birlik vektorlari yordamida ifodalang.

15) ( vecs a = 2 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}, vecs b = hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} )

Javob:
(a. , vecs a + vecs b = -3,4⟩, quad vecs a + vecs b = 3 hat { mathbf i} +4 hat { mathbf j} )
(b. , vecs a− vecs b = -1, -2⟩, quad vecs a− vecs b = hat { mathbf i} -2 hat { mathbf j} )
(c. ) Javoblar har xil bo'ladi
(d. , 2 vecs a = -4,2⟩, quad 2 vecs a = 4 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j}, quad - vecs b = ⟨ -1, -3⟩, quad - vecs b = - hat { mathbf i} -3 hat { mathbf j}, quad 2 vecs a− vecs b = -3, -1⟩, quad 2 vecs a− vecs b = 3 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

16) ( vecs a = 2 hat { mathbf i}, vecs b = -2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

17) ( vecs a ) terminal nuqtasi ((- 2, −4) ) bo'lgan standart pozitsiyali vektor bo'lsin. ( Vecs b ) boshlang'ich nuqtasi ((1,2) ) va terminal nuqtasi ((- 1,4) ) bo'lgan vektor bo'lsin. (- 3 vecs a + vecs b-4 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. ) Vektorining kattaligini toping.

Javob:
(15)

18) ( vecs a ) terminal nuqtasi ((2,5) ) bo'lgan standart pozitsiyali vektor bo'lsin. ( Vecs b ) boshlang'ich nuqtasi ((- 1,3) ) va terminal nuqtasi ((1,0) ) bo'lgan vektor bo'lsin. ( Vecs a − 3 vecs b + 14 hat { mathbf i} -14 hat { mathbf j}. ) Vektorining kattaligini toping.

19) ( vecs u ) va ( vecs v ) tengsiz bo'lmagan ikkita nolga teng bo'lmagan vektor bo'lsin. ( Vecs a = 4 vecs u + 5 vecs v ) va ( vecs b = vecs u + 2 vecs v ) $ ( vecs u ) va ( vecs v ). ( Vec $ a + λ vecs b ) va ( vecs u− vecs v ) vektorlari teng bo'ladigan skalyarni (λ ) ni toping.

Javob:
(λ = -3 )

20) ( vecs u ) va ( vecs v ) tengsiz ikkita nolga teng bo'lmagan vektor bo'lsin. ( Vecs a = 2 vecs u-4 vecs v ) va ( vecs b = 3 vecs u-7 vecs v ) vektorlarini ( vecs u ) va ( vecs v ). (A ) va (β ) skalerlarini topingki, (a vecs a + β vecs b ) va ( vecs u− vecs v ) vektorlari teng.

21) ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) vektorini haqiqiy songa bog'liq komponentlar bilan ko'rib chiqing (t ). (T ) soni o'zgarganda, ularni belgilaydigan funktsiyalarga qarab ( vecs a (t) ) ning tarkibiy qismlari ham o'zgaradi.

a. ( Vecs a (0) ) va ( vecs a (π) ) vektorlarini komponent shaklida yozing.

b. ( Vec a (t) ) vektorning (∥ vecs a (t) ∥ ) kattaligi har qanday haqiqiy son uchun doimiy bo'lib qolishini (t ) ko'rsating.

v. (T ) o'zgarib turganda, ( vecs a (t) ) vektorining terminal nuqtasi (1 ) radiusining boshida joylashgan doirani tasvirlashini ko'rsating.

Javob:
(a. , vecs a (0) = -1,0⟩, quad vecs a (π) = ⟨⟨1,0⟩ )
(b. ) Javoblar har xil bo'lishi mumkin
(c. ) Javoblar har xil bo'lishi mumkin

22) ( vecs a (x) = -x, sqrt {1-x ^ 2}⟩ ) vektorni haqiqiy songa bog'liq komponentlar bilan ko'rib chiqing (x∈ [-1,1] ). (X ) soni o'zgarganda, ularni belgilaydigan funktsiyalarga qarab ( vecs a (x) ) ning tarkibiy qismlari ham o'zgaradi.

a. ( Vecs a (0) ) va ( vecs a (1) ) vektorlarini komponent shaklida yozing.

b. ( Vecs a (x) ) vektorning (∥ vecs a (x) ∥ ) kattaligi (x ) haqiqiy son uchun doimiy bo'lib qolishini ko'rsating.

v. (X ) o'zgarib turganda, ( vecs a (x) ) vektorining terminal nuqtasi (1 ) radiusining boshida joylashgan doirani tasvirlashini ko'rsating.

23) ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) va ( vecs a (x) = -x, sqrt {1-x ^ 2}⟩ ) vektorlari ekanligini ko'rsating. (x = 1 ) va (t = 2kπ ) uchun teng, bu erda (k ) butun son.

Javob: Javoblar har xil bo'lishi mumkin

24) ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) va ( vecs a (x) = -x, sqrt {1-x ^ 2}⟩ ) vektorlari ekanligini ko'rsating. (x = 1 ) va (t = -2 + 2kπ ) uchun qarama-qarshi, bu erda (k ) butun son.

25-28-mashqlar uchun ( vecs v ) berilgan kattalikdagi va ( vecs u ) vektor bilan bir xil yo'nalishdagi vektorni toping.

25) ( | vecs v | = 7, quad vecs u = -3,4⟩ )

Javob:
( vecs v = ⟨ frac {21} {5}, frac {28} {5}⟩ )

26) (‖ vecs v‖ = 3, quad vecs u = ⟨− 2,5⟩ )

27) (‖ vecs v‖ = 7, quad vecs u = -3, -5⟩ )

Javob:
( vecs v = ⟨ frac {21 sqrt {34}} {34}, - frac {35 sqrt {34}} {34}⟩ )

28) (‖ vecs v‖ = 10, quad vecs u = -2, -1⟩ )

29-34-mashqlar uchun ( vecs u ) vektorining tarkibiy qismini toping, uning kattaligi va vektorning ijobiy (x ) - o'qi bilan yasagan burchagi berilgan. Mumkin bo'lgan taqdirda aniq javob bering.

29) (‖ vecs u‖ = 2, θ = 30 ° )

Javob:
( vecs u = ⟨ sqrt {3}, 1⟩ )

30) (‖ vecs u‖ = 6, θ = 60 ° )

31) (‖ vecs u‖ = 5, θ = frac {π} {2} )

Javob:
( vecs u = -0,5⟩ )

32) (‖ vecs u‖ = 8, θ = π )

33) (‖ vecs u‖ = 10, θ = frac {5π} {6} )

Javob:
( vecs u = -⟨-5 sqrt {3}, 5⟩ )

34) (‖ vecs u‖ = 50, θ = frac {3π} {4} )

35 va 36-mashqlar uchun ( vecs u ) vektor berilgan. ( Vecs u ) vektor (x ) - o'qining musbat yo'nalishi bilan soat yo'nalishi bo'yicha teskari yo'nalishda bajaradigan (θ∈ [0,2π) ) burchakni toping.

35) ( vecs u = 5 sqrt {2} hat { mathbf i} -5 sqrt {2} hat { mathbf j} )

Javob:
(θ = frac {7π} {4} )

36) ( vecs u = - sqrt {3} hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) ( vecs a = -a_1, a_2⟩, vecs b = -b_1, b_2⟩ ) va ( vecs c = -c_1, c_2⟩ ) uchta nolga teng bo'lmagan vektor bo'lsin. Agar (a_1b_2 − a_2b_1 ≠ 0 ) bo'lsa, unda ( vecs c = a vecs a + β vecs b. ) Kabi ikkita skalar mavjudligini ko'rsating, (a ) va (().

Javob: Javoblar har xil bo'lishi mumkin

38) ( vecs a = -2, -4⟩, vecs b = -⟨-1,2⟩, ) va ( vecs c = vecs 0 ) vektorlarini ko'rib chiqing (a ) va (β ) shunday bo'ladiki, ( vecs c = a vecs a + β vecs b ).

39) (P (x_0, f (x_0))) ) haqiqiy sonlar to'plami bo'lgan domenga ega bo'lgan differentsial funktsiya (f ) grafigidagi sobit nuqta bo'lsin.

a. (Q (x_0 + 1, z_0) ) nuqtasi (f ) grafigiga teginish chizig'ida (P ) nuqtada joylashganligi uchun (z_0 ) haqiqiy sonini aniqlang.

b. ( Vecs u ) vektorini boshlang'ich nuqtasi (P ) va terminal nuqtasi (Q ) bilan aniqlang.

Javob:
(a. quad z_0 = f (x_0) + f ′ (x_0); quad b. quad vecs u = frac {1} { sqrt {1+ [f ′ (x_0)] ^ 2} } -1, f ′ (x_0)⟩ )

40) (f (x) = x ^ 4, ) funktsiyani ko'rib chiqing, bu erda (x-R ).

a. (Z_0 ) haqiqiy sonni shunday aniqlangki, (P (1,1) ) nuqtada (f ) grafigiga tegishlicha chiziqda joylashgan (Q (2, z_0) ) nuqta.

b. ( Vecs u ) vektorini boshlang'ich nuqtasi (P ) va terminal nuqtasi (Q ) bilan aniqlang.

41) Xuddi shu haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan (f ) va (g ) ikkita funktsiyani ko'rib chiqing (D ). ( Vecs a = -x, f (x)⟩ ) va ( vecs b = -x, g (x)⟩ ) funktsiyalar grafikalarini tavsiflovchi ikkita vektor bo'lsin, bu erda (x∈ D ). (F ) va (g ) funktsiyalarining grafikalari kesishmasa, u holda ( vecs a ) va ( vecs b ) vektorlari teng emasligini ko'rsating.

42) ( vecs a = -x, sin x⟩ ) va ( vecs b = -x, cos x⟩ ) vektorlari teng keladigan (x-R ) ni toping.

43) (D ) nuqtaning koordinatalarini shunday hisoblang, shunda (ABCD ) parallelogramm bo'ladi, bunda (A (1,1), B (2,4) ) va (C (7,4) )).

Javob:
(D (6,1) )

44) (A (2,1), B (10,6), C (13,4) ) va (D (16, -2) )) nuqtalarni ko'rib chiqing. ( Vecd {AD} ) vektorining tarkibiy shaklini aniqlang.

45) tezlik ob'ekt - bu unga bog'liq tezlik vektorining kattaligi. Kvartbek tomonidan tashlangan futbolning boshlang'ich tezligi (70 ) mil / soat va ko'tarilish burchagi (30 ° ) ga teng. Tezlik vektorini mph bilan aniqlang va uni komponent shaklida ifodalang. (Ikkita kasr soniga qadar aylana.)

Javob:
(⟨60.62,35⟩)

46) Beysbolchi beysbolni gorizontal bilan (30 ° ) burchakka uloqtiradi. Agar to'pning dastlabki tezligi (100 ) mph bo'lsa, beysbolning dastlabki tezlik vektorining gorizontal va vertikal qismlarini toping. (Ikkita kasr soniga qadar aylana.)

47) O'q gorizontal bilan (60 ° ) burchak ostida dastlabki tezligi (1500 ) ft / sek. O'qning tezlik vektorining gorizontal va vertikal qismlarini toping. (Ikkita kasr soniga qadar aylana.)

Javob:
Gorizontal va vertikal komponentlar mos ravishda (750 ) ft / sek va (1299.04 ) ft / sek.

48) [T] 65 kilogrammli sprinter bir lahzada boshlang'ich blokdagi erga nisbatan (19 ° ) burchak ostida (798 ) N kuchini o'tkazadi. Kuchning gorizontal qismini toping. (Ikkita kasr soniga qadar aylana.)

49) [T] Xuddi shu ob'ektga ikkita kuch, gorizontal kuchi (45 ) lb, ikkinchisi (52 ) lb ta'sir qiladi. Ushbu kuchlar orasidagi burchak (25 ° ) ga teng. Ob'ektga ta'sir qiluvchi natijaviy kuchning ijobiy (x ) - o'qidan kattaligi va yo'nalish burchagini toping. (Ikkita kasr soniga qadar aylana.)

Javob:
Olingan kuchning kattaligi (94.71 ) lb; yo'nalish burchagi (13.42 ° ) dir.

50) [T] Xuddi shu ob'ektga vertikal kuch (26 ) lb, ikkinchisi (45 ) lb bo'lgan ikkita kuch ta'sir qiladi. Ushbu kuchlar orasidagi burchak (55 ° ) ga teng. (Ikkita kasr soniga qadar aylana.)

51) [T] Ob'ektga uchta kuch ta'sir qiladi. Kuchlarning ikkitasi (58 ) N va (27 ) N kattaliklarga ega va mos ravishda (x ) - o'qi bilan (53 ° ) va (152 ° ) burchaklarni hosil qiladi. . Uchinchi kuchning musbat (x ) - o'qidan kattaligi va yo'nalish burchagini shu narsa topingki, ob'ektga ta'sir etuvchi kuch nolga teng. (Ikkita kasr soniga qadar aylana.)

Javob:
Uchinchi vektorning kattaligi (60.03 ) N; yo'nalish burchagi (259,38 ° ) dir.

52) kattalikka ega uchta kuch 80 funt, 120 lb, va 60 lb mos ravishda (x ) - o'qi bilan mos ravishda (45 °, 60 ° ) va (30 ° ) burchak ostida ob'ektga ta'sir qiladi. Olingan kuchning musbat (x ) - o'qidan kattaligi va yo'nalish burchagini toping. (Ikkita kasr soniga qadar aylana.)

53) [T] Samolyot shimoldan sharqqa (43 ° ) yo'nalishda (shuningdek (N43E deb qisqartirilgan) (550 ) milya / soat tezlikda parvoz qilmoqda. Tezlik (25 ) bo'lgan shamol ) milya tezligi janubi-g'arbdan (N15E ) podshipnikida keladi. Samolyotning er tezligi va yangi yo'nalishi qanday?

Javob:
Samolyotning yangi er tezligi (572.19 ) mil / soat; yangi yo'nalish (N41.82E. )

54) [T] Qayiq suvda (30 ) mil / s tezlikda (N20E ) (ya'ni, shimoldan sharqqa (20 ° )) yo'nalishda harakatlanmoqda. Kuchli oqim (15 ) milya / soat tezlikda (N45E ) yo'nalishda harakatlanmoqda. Qayiqning yangi tezligi va yo'nalishi qanday?

55) [T] Kabelning 50-funt og'irligi gorizontal ravishda mos ravishda (40 ° ) va (53 ° ) burchaklarni hosil qilishi uchun simi bilan osilgan. Kabellarda ( vecs T_1 ) va ( vecs T_2 ) kuchlanish kuchlarining kattaliklarini toping, agar ob'ektga ta'sir qiluvchi kuch nolga teng bo'lsa. (Ikkita kasr soniga qadar aylana.)

Javob:
( | vecs T_1 | = 30.13 , lb, quad | vecs T_2 | = 38.35 , lb )

56) [T] 62-funt og'irlik arqonga osilgan bo'lib, u mos ravishda (29 ° ) va (61 ° ) burchaklarini gorizontal ravishda hosil qiladi. (Ikkita kasr soniga qadar aylana.)

57) [T] 1500 funtlik qayiq gorizontal bilan (30 ° ) burchak yasaydigan rampada to'xtab turibdi. Qayiqning og'irlik vektori pastga qarab ishora qiladi va ikki vektorning yig'indisi: rampaga parallel bo'lgan gorizontal vektor ( vecs v_1 ) va moyil yuzaga perpendikulyar bo'lgan vertikal vektor ( vecs v_2 ). ( Vecs v_1 ) va ( vecs v_2 ) vektorlarining kattaliklari mos ravishda qayiqning og'irlik vektorining gorizontal va vertikal komponentidir. ( Vecs v_1 ) va ( vecs v_2 ) kattaliklarini toping. (To'liq songa qadar aylana.)

Javob:
( | vecs v_1 | = 750 , lb, quad | vecs v_2 | = 1299 , lb )

58) [T] 85 funtli quti (26 ° ) nishab ustida turibdi. Qutini sirpanishiga yo'l qo'ymaslik uchun zarur bo'lgan moyillikka parallel kuchning kuchini aniqlang. (To'liq songa qadar aylana.)

59) Yigitcha sim balandligi (75 ) fut bo'lgan ustunni qo'llab-quvvatlaydi. Telning bir uchi ustunning yuqori qismiga bog'langan, ikkinchisi esa ustunning pastki qismidan erga (50 ) ft. Telning kuchlanish kuchining gorizontal va vertikal qismlarini aniqlang, agar uning kattaligi (50 ) lb. bo'lsa (butun songa qadar yumaloq).

Javob:
Kuchlanish kuchining ikki gorizontal va vertikal komponentlari mos ravishda (28 ) lb va (42 ) lb.

60) Telefon ustunidagi yigit-simning erga nisbatan balandligi (35 ° ) ga teng. Yigitcha simidagi taranglik kuchi (120 ) lb.Qorilish kuchining gorizontal va vertikal qismlarini toping. (To'liq songa qadar aylana.)

Xissadorlar

Gilbert Strang (MIT) va Edvin "Jed" Herman (Harvi Mudd) ko'plab mualliflar bilan. OpenStax-ning ushbu tarkibi CC-BY-SA-NC 4.0 litsenziyasiga ega. Http://cnx.org saytidan bepul yuklab oling.


Ushbu darsning ikkinchi yarmi oson trigonometriyani, xususan sinus va kosinus funktsiyalaridan foydalanishni talab qiladi.

Astronomiya, Nyuton mexanikasi va kosmik parvozlar bo'yicha o'rta maktab kursining bir qismi
Devid P. Stern tomonidan

Ushbu dars ishlanmasi: & # 34Vektorlar, & # 34 bo'lim # 14
http://www.phy6.org/stargaze/Svector.htm

    Izoh: Ushbu darsda vektorlardan foydalaniladi va ularni doskada va daftarda belgilashning bir usuli sinf tomonidan kelishilgan bo'lishi kerak. Ushbu dars ishlanmasida barcha vektor kattaliklari ostiga chiziladi.

    Matematikada va fizikada vektorlarning ta'rifi va maqsadi haqida.

Shartlar: Vektor, vektor qo'shilishi, vektor komponentlari, vektor kattaligi, vektor komponentlari berilgan yo'nalishga parallel va perpendikulyar.

Hikoyalar va qo'shimchalar: bu erda yo'q, ammo samolyot parvozidagi №22a bo'limida ushbu darsdan keyin qiziqarli dasturlar mavjud emas.

Bugun biz vektorlarni, matematik ob'ektlarni muhokama qilamiz, ular nafaqat kattaligi, kattaligi, oddiy sonlarning uslubi, balki ular ko'rsatadigan yo'nalishga ham ega. Ularga turli yo'llar bilan murojaat qilish mumkin.

      Ular yanada kengroq ta'rif sifatida qaralishi mumkin raqamlar. Raqamlar bosqichma-bosqich aniqlanishi mumkin, har bir bosqich avvalgisini umumlashtiradi, lekin doiralar doiralari singari kengroq sinfni qamrab oladi. (Taxtada raqamlar ko'rsatilgan chiziq bilan tasvirlang, shuningdek jadvalga tagiga chizilgan shartlarni yozing - har birining oldingisidan pastroqda.)

Dastlabki raqamlar butun sonlar edi: 1,2,3,4. va shunga o'xshash narsalar, juda erta, amaliy maqsadlar uchun ixtiro qilingan - aytaylik, qo'ylarni uyga kelganda sanash, yo'qolib qolmasligi uchun.

Keyin salbiy raqamlar: & # 82111, & # 82112, & # 82113. --Siz menga bitta, ikki, uch qo'ydan qarzdormisiz. Shuningdek nol, bu faqat juda kech raqam sifatida qabul qilingan.

Keyin kasrlar- 1/2, 1/3, shuningdek, 7/12 yoki 3/7 va shunga o'xshash misrliklar birinchi turni bilar edilar va 3 va 4 qismlarni (1/2) + (1/12) va sifatida (1/3) + (1/12) + (1/84). Shuningdek, o'nli kasrlar.

Keyin & # 34mantiqsiz raqamlar& # 34, masalan, 2 ning kvadrat ildizi sifatida yozib bo'lmaydi har qanday fraktsiya (oddiy dalil mavjud). Bularning barchasi birgalikda tanilgan haqiqiy raqamlar.

Keyin nima bo'ladi? . Raqamlar kontseptsiyasini hali ham kengroq sinflarga etkazishning bir qancha usullari mavjud - ular haqiqiy sonlar bilan bir qatorda manipulyatsiya qilinishi mumkin bo'lgan qo'shimcha miqdorlarni o'z ichiga oladi.

Albatta, biz ushbu qo'shimchalar uchun bir oz berishimiz kerak. Ane haqiqiy sonini yolg'izning uzunligi deb hisoblash mumkin. Kengroq ta'riflar bilan bunday oddiy talqinlar endi ishlamasligi mumkin.

Masalan, biz o'z ichiga olishi mumkin(murakkab sonlar) i (& # 82111) ning kvadrat ildizi va a + b kabi ifodalarni o'z ichiga olgan, bu erda a va b haqiqiy sonlar. Bu biz bugun bormaydigan yo'nalish (shu sababli atama qavs ichida yozilgan). Shuni ta'kidlash mumkinki, ammo murakkab sonlar vektorlar bilan 2 o'lchovda yaqin aloqada bo'ladi.

Xo'sh, buning o'rniga nima bo'ladi? Yuqoridagi barcha narsalar bilan bog'liq bo'lishi mumkin chiziq bo'ylab nuqtalar: butun sonlar ajratilgan nuqtalar, kasrlar ular orasidagi bo'shliqlarni zich qilib to'ldirganday tuyuladi, ammo ular irratsionallarda siqish uchun etarli joy qoldiradi.

Endi, ehtimol, chiziqdagi barcha fikrlar qoplanadi. Har bir raqam uchun biz qo'yishimiz mumkin o'q chiziqda noldan shu raqamgacha bo'lgan masofa - musbat sonlar uchun o'ngga (masalan), chapga o'qlar salbiy bittasi.

Vektorlar - bu ifodalaydigan matematik ob'ektlar har qanday yo'nalishda o'qlar- tekislikda, hatto 3 o'lchamda. Bu "raqamlar" ning yangi darajasiva bu ularga qarashning bir usuli.

In algebra, biz belgilaymiz oddiy raqamlar ("skalar") harflar bilan. Agar biz miqdorni ko'rsatishni istasak, a vektor, yuqoridagi o'q bilan belgilang, yoki tagiga chizish yoki (asosan kitoblarda) jasur yuz. "Stargazers" ning veb-fayllarida, afsuski, mo''tadil yuzlar miqdorlarni ajratib ko'rsatish uchun ishlatiladi, shuning uchun bu konventsiya ta'qib qilinmaydi va siz vektorlarni ularning kontekstidan ajratishingiz kerak bo'ladi.

    Matematiklar har qanday g'alati narsalarni kashf etdilar umumlashtirish raqamlar. Eng qiziqtiradigan narsalar - ular yaxshi dasturlar.

Vektorlar vakili bo'lishimizga imkon bering tezliklar.
Biz samolyotda uchamiz va shu bilan birga shamol uni chetga suradi - biz erga nisbatan qanday rivojlanayapmiz? Bunga vektorlar yordam beradi.

Xuddi shunday, kuchlar, tezlanishlar, magnit maydonlari bir nechta manbalardan, barchasi vektorlar kabi qo'shiladi. A qo'ygan muhandislar ko'prik yoki a bino va barcha kuchlarning muvozanati va boshqalarga vektorlar kerakligiga ishonch hosil qilishni xohlaysiz.

Gapiraman haqida ular - biron bir misol bormi?

Eng oddiy turi ko'chirish (taxtada AQSh xaritasini eskizlang va undan foydalaning). Siz qalamni olib, uni joyidan almashtirasiz Nyu York ga Chikago, keyin Chikago ga Sietl. Yakuniy effekt xuddi qalamni joyimizdan siljitgandek Nyu York ga Sietl.

Nyu-Yorkdan Chikagoga ko'chish bu o'q.
Chikagodan Sietlga - bu o'q
Nyu-Yorkdan Sietlga -bu o'qva biz buni deymiz vektor yig'indisi qolgan ikkita o'qning

Bu g'alati qo'shilish usuliga o'xshab qolishi mumkin, lekin siz tezlikni, kuchlarni va magnit maydonlarni qanday qo'shasiz.

Savollarga rahbarlik qilish va taklif qilingan javoblar bilan qo'shimcha tidbits.

--Ikki vektorni qo'shishning grafik usuli qanday?

    Ikkinchisining dumini birinchisining boshiga qo'ying - summa birinchi quyruqdan ikkinchisining boshiga to'g'ri keladi

--Ikkisidan qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchisiga qo'shilishining farqi bormi?

- Nima uchun? (O'qituvchi doskada namoyish etadi.

    Aytaylik, ikkita a va b vektorlarni qo'shamiz.
    Qo'shilmoqda
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp a + b bitta uchburchakni hosil qiladi
    Qo'shilmoqda
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp b + a oynali tasvir uchburchagini beradi.

Ikkala uchburchakni bitta parallelogramga birlashtirish mumkin (doskada ko'rsatish). Ikkala holatda ham, summa parallelogramning diagonali - har ikkala holatda ham bir xil diagonal. UL>

- Vektorlar qachon o'xshash sonlarni qo'shadi?

Ularning barchasi bir xil chiziqda bo'lganda.
--Ammo chiziq bo'ylab vektorlar ikki yo'nalishga ega bo'lishi mumkin!
To'g'ri - bitta yo'nalishdagi vektorlar +, ikkinchisida hisoblanadi & # 8211

Quyidagi savollar shunchaki tezkorlik: o'qituvchi jiddiyroq savollarni qo'shishi mumkin. - Sizning kemangiz soatiga 10 mil yurishi mumkin, ammo daryo 5 milya tezlikda oqadi. Sohilga nisbatan sizning tezligingiz qanday (a) yuqori oqimga (b) quyi oqimga qarab borasiz?

--Siz yugurish yo'lakchasida 5 milya tezlikda yugurasiz, lekin hech qaerga bormaysiz. Nima uchun?

- Samolyotingiz shimolga 120 milya tezlikda uchadi, g'arbdan esa 50 milya tezlikda shamol esadi. Quyidagi erga nisbatan sizning & # 34 er tezligingiz & # 34 V qanday?

    V 2 = 12 2 + 5 2 = 14400 + 2500 = 16900. V = 130 milya.

--Tekislikda sizga vektor berilgan deb taxmin qiling (varaqda, xaritada va hokazo) bu nimani anglatadi hal qilish uning tarkibiy qismlariga "

    Chunki havo tezligi va shamol tezligining yo'nalishlari g'alati burchaklarga ega bo'lishi mumkin.
    Ushbu burchaklar bilan kurashishdan ko'ra, ularning har birini shimoliy-janub va sharq-g'arbiy qismlarga ajratish, har bir yo'nalishda (raqamlar kabi) tarkibiy qismlarni qo'shish va keyin yana yig'indini shakllantirish osonroq.

- Samolyot shimoldan g'arbga (shimoli-g'arbiy tomon) 17.13 & # 176 yo'nalishda 120 milya tezlikda uchadi. Shamol janubi-sharqqa 50 milya tezlikda esadi, sharqiy yo'nalishdan 45 & # 176. Samolyot qaysi yo'nalishda harakat qiladi va qanchalik tez?

    Shimolga qarab 79.32 milya. Ruxsat bering V samolyotning tezligi, V shamol tezligi va bu vektorlarni (x, y) tizimida x o'qi sharqqa, y o'qi esa shimolga qarab belgilab olamiz. Komponentlar:

X komponentlari bekor qiladi, umumiy y komponentasi
114.68-35.36 = 79.32

To'p tashlanganida yoki qobiq otilganida, uning harakati, shuningdek, & # 34Qanday narsalar tushib ketadi & # 34 da muhokama qilinganidek, ikkita harakatning superpozitsiyasi hisoblanadi.

--Biz odatiy (x, y) o'qlarini soat yo'nalishi bo'yicha 90 & # 176 ga aylantiramiz, shunday qilib pastga x yo'nalishi va unga perpendikulyar, O'ngga, y yo'nalishi.

(Taxtaga rasm chizish). Demak, pastga qarab x tezliklar musbat, yuqoriga yo'naltirilgan bo'lsa, u boshlang'ich x tezlik u manfiy bo'ladi.

    Dastlabki gorizontal tezlik w o'ngga yo'naltirilganda ijobiy bo'ladi

Har bir harakatning tezligini hisoblashimiz mumkin:

Ular birgalikda tezlik vektorini berishadi V. S siljish vektori xuddi shunday tarkibiy qismlarga ega:

- Biz qurolni erga qadar 45 & # 176 da yuqoriga qarab 1000 m / sek tezlikda otamiz. Qobiq erga urilishidan oldin qancha masofani bosib o'tadi (havo qarshiligini e'tiborsiz qoldirish - haqiqiy qiymatlar kichikroq bo'ladi). G = 10 m / s 2 ni oling.

    Biz (u, v) boshlang'ich tezlikning (vertikal, gorizontal) tarkibiy qismlari ekanligini ta'kidlaymiz, ularni V deb atashimiz mumkin0. Shunday qilib (y yo'nalishida otish, ayt)

u = -1000 * sin 45 & # 176 = - 707 m / s
w = 1000 * cos 45 & # 176 = 707 m / s

Ta'sirda, Sx = 0, shuning uchun ut + (1/2) gt 2 = 0

Bitta echim - t = 0 - bu qiziqish bildirmaydi, shunchaki biz er sathidan boshlaganimizni aytib beradi. T ga bo'ling (u nolga teng emas, shuning uchun biz uni ajratishimiz mumkin)

& # 8211u = (1/2) gt t = & # 82112u / g = 141.4 sek
Sy = 99,97 km, taxminan 100 km.

    Ular rampa yuzasiga parallel ravishda vaznning tarkibiy qismini engib o'tishlari kerak, bu 1000 * sin 5 & # 176 = 87,15 kg.

Lug'atlarda bir nechta ma'no berilgan. Yelkenli qayiqlarda ishlatilgan ulardan bittasi shamol yo'nalishini ko'rsatish uchun kafanga (ustunni ushlab turuvchi simga) yoki suzib yurishga bog'langan engil lenta yoki ipga ishora qiladi.


1.1E: Samolyotda vektorlar uchun mashqlar - Matematika

1 - 3 masalalar uchun tekislik tenglamasini yozing.

  1. ( Chap (<4, - 3,1> o'ng) ), ( chap (<- 3, - 1,1> o'ng) ) va ( chap (< 4, - 2,8> o'ng) ). Qaror
  2. ( Chap (<3,0, - 4> o'ng) ) nuqtani o'z ichiga olgan va ( vec r chap (t o'ng) = chap langle <12 - t, 1 + 8t, 4 + 6t> right rangle ). Qaror
  3. ( Chap (<- 8,3,7> o'ng) ) nuqtani o'z ichiga olgan va (4x + 8y - 2z = 45 ) tomonidan berilgan tekislikka parallel bo'lgan tekislik. Qaror

4 va 5-sonli masalalar uchun ikkita tekislikning parallel, ortogonal yoki yo'qligini aniqlang.

  1. (4x - 9y - z = 2 ) va (x + 2y - 14z = - 6 ) bilan berilgan tekislik. Qaror
  2. (- 3x + 2y + 7z = 9 ) tomonidan berilgan tekislik va ( chap (<- 2,6,1> o'ng) ), ( chap (<- 2, 5,0> o'ng) ) va ( chap (<- 1,4, - 3> o'ng) ). Qaror

6 va 7-masalalar uchun chiziq qayerda tekislikni kesib o'tishini aniqlang yoki uning tekislik bilan kesishmasligini ko'rsating.


Salbiy vektorlar

Salbiy belgi vektor yo'nalishini o'zgartiradi.

Salbiy vektorli va bitta harfli (pozitsiyali) vektorlar

Salbiy vektorni aniqlaydi va nima uchun ba vektori -ab vektoriga tengligini ko'rsatadi. Joylashuv vektorini belgilaydi va boshlanishidan boshlanadigan vektorni faqat uning so'nggi nuqtasi, ya'ni bitta harfli vektor sifatida ifodalash mumkinligini bildiradi.

Salbiy vektor
A-dan b-ga, keyin b-dan a-ga orqaga qaytish yo'lini ko'rib chiqing. Vektorlar nuqtai nazaridan bu ab + ba deb yozilgan. Umuman olganda, biz boshlagan joyimizga qaytib keldik va biz hech qaerga ketmadik. Biz ushbu vektorni O deb ataymiz va uni 0 raqami kabi tutamiz.

Salbiy vektorlar
Yo'nalishi qarama-qarshi va bir xil o'lchamdagi vektorlar

Matematikaning turli mavzularida mashq qilish uchun bepul Mathway kalkulyatori va muammo echimini sinab ko'ring. Berilgan misollarni sinab ko'ring yoki o'zingizning muammoingizni yozing va bosqichma-bosqich tushuntirishlar bilan javobingizni tekshiring.

Ushbu sayt yoki sahifa haqidagi fikr-mulohazalaringizni, sharhlaringizni va savollaringizni qabul qilamiz. Fikr-mulohaza yoki so'rovlaringizni Fikr-mulohaza sahifamiz orqali yuboring.


Vektorlarning grafik tasviri

Vektorlar o'qlar kabi chizilgan. O'qning kattaligi (uzunligi qancha) va yo'nalishi (ko'rsatgan yo'nalishi) ham mavjud. Vektorning boshlang'ich nuqtasi sifatida tanilgan quyruq va yakuniy nuqta sifatida tanilgan bosh.

20.1-rasm: Vektorlarga misollar

20.2-rasm: Vektorning qismlari

Yo'nalishlar (ESAGL)

Vektorlarni yozishning ko'plab maqbul usullari mavjud. Vektor kattaligi va yo'nalishiga ega ekan, u, ehtimol, maqbul bo'ladi. Ushbu turli xil usullar vektor uchun yo'nalishni ifodalashning turli usullaridan kelib chiqadi.

Nisbiy yo'nalishlar

Yo'nalishni ko'rsatishning eng oddiy usuli - nisbiy yo'nalishlar: chapga, o'ngga, oldinga, orqaga, yuqoriga va pastga.

Kompas yo'nalishlari

Yo'nalishlarni ifodalashning yana bir keng tarqalgan usuli - bu kompas nuqtalaridan foydalanish: Shimoliy, Janubiy, Sharqiy va G'arb. Agar vektor kompas yo'nalishlaridan birida to'liq ishora qilmasa, u holda biz burchakdan foydalanamiz. Masalan, biz G'arbning shimolida ( text <40> ) ( text <& # 176> ) vektoriga ega bo'lishimiz mumkin. G'arbiy yo'nalish bo'ylab yo'naltirilgan vektordan boshlang (quyida joylashgan o'qga qarang), so'ngra vektorni shimol tomonga burab, ( text <40> ) ( text <& # 176> ) burchak hosil bo'lguncha aylantiring. vektor va G'arbiy yo'nalish o'rtasida (pastdagi qattiq o'q). Ushbu vektorning yo'nalishini quyidagicha tavsiflash mumkin: W ( text <40> ) ( text <& # 176> ) N (West ( text <40> ) ( text <& # 176> ) North) yoki N ( text <50> ) ( text <& # 176> ) W (North ( text <50> ) ( text <& # 176>) ) G'arb).

Rulman

Yo'nalishni ifodalashning yana bir usuli - a dan foydalanish rulman. Rulman - bu belgilangan nuqtaga nisbatan yo'nalish. Faqatgina burchakni hisobga olgan holda, konventsiya shimolga nisbatan soat yo'nalishi bo'yicha burchakni belgilashdan iborat. Shunday qilib, ( text <110> ) ( text <& # 176> ) yo'nalishi bo'yicha vektor soat yo'nalishi bo'yicha aylantirildi ( text <110> ) ( text <& # 176> ) Shimoliyga nisbatan. Rulman har doim uch xonali raqam sifatida yoziladi, masalan ( text <275> ) ( text <& # 176> ) or ( text <080> ) ( text <& # 176> ) (uchun ( text <80> ) ( text <& # 176> )).


3.1.14-mashq. Ikkala va in vektorlari berilgan bo'lsa, ularning farqi ularning yig'indisiga nisbatan ortogonal ekanligini ko'rsating va faqat ularning uzunliklari bir xil bo'lsa. Javob: Dastlab biz buni ortogonal deb hisoblaymiz. Bu ularning & hellip Continue reading & rarr degan ma'noni anglatadi

3.1.13-mashq. Ustun oralig'ini satr maydoniga va chap bo'sh joyni nolga yuborishda harakatini ko'rsatadigan rasmni taqdim eting. Javob: Men buni tushuntirishga ulgurmagunimcha, bu lavozimni joy egasi sifatida tark etaman. & hellip Continue reading & rarr


Prekalkulus

Oldindan hisoblangan mavzularni qamrab olgan keng qamrovli darslik. Trigonometriya, kompleks sonlar, vektorlar va matritsalarni o'z ichiga olgan maxsus mavzular. AIME va USAMO musobaqalaridagi ko'plab muammolarni o'z ichiga oladi.

Umumiy nuqtai

Prekalkulus yuqori darajadagi o'rta va o'rta maktab o'quvchilariga qarshi kurashish uchun mo'ljallangan "Muammoni hal qilish san'ati" o'quv dasturining bir qismidir. Prekalkulus trigonometriya, kompleks sonlar, vektorlar va matritsalarni qamrab oladi. U odatiy mashqlardan tortib, Amerika matematika imtihonlari va AQSh matematik olimpiadasi kabi yirik matematik musobaqalaridan tortib to o'ta qiyin masalalarga qadar 1000 ga yaqin muammolarni o'z ichiga oladi. Muammolarning deyarli yarmi matnda to'liq, batafsil echimlarga ega, qolganlari esa echimlar uchun qo'llanmada to'liq echimlarga ega.

Muammoni hal qilish san'ati "Kirish va oraliq" turkumidagi barcha kitoblarda bo'lgani kabi, Prekalkulus o'quvchini yangi g'oyalarni o'rganish va rivojlantirishga ilhomlantirish uchun tuzilgan. Har bir bo'lim muammolar bilan boshlanadi, shuning uchun talaba ularni davom ettirishdan oldin ularni yordamisiz hal qilish imkoniyatiga ega. Keyin matnda ushbu muammolarning echimlari mavjud bo'lib, ular orqali yangi usullar o'rgatiladi. Matn davomida muhim faktlar va muammolarni hal qilishning kuchli yondashuvlari ta'kidlangan.


1.1E: Samolyotda vektorlar uchun mashqlar - Matematika

Ushbu geometrik nuqtai nazar, biz tekislikda yoki 3 bo'shliqda harakatlanadigan ob'ektning harakatini yoki shaklidagi o'zgarishlarni modellashtirishni xohlaganimizda foydalidir. Biroq, bu yuqori o'lchamlarda ham foydalidir. Har qanday matritsani aylantirish, aks ettirish, proyeksiya, qirqish, kengaytirish va qisqarishning yuqori o'lchovli versiyalariga mos keladigan sodda matritsalarning mahsuli deb hisoblash mumkin, degan fikr ham toza, ham amaliy matematiklar uchun juda katta ahamiyatga ega.

Lineer Xaritalar Parallelogramlarni Parallelogrammalarga olib boradi

Mashq 1: Umuman olganda tekislikdagi parallelogrammni vektorlar yordamida tasvirlash mumkin. Shaklning barcha nuqtalari to'plami

(qayerda p, siz va v vektorlar va a va b skalardir) nuqtalari tepaliklari bilan parallelogramm bo'ladi p, p + u, p + u + vva p + v. Toping p, siz va v parallelogram uchun P (1,2), (3,3), (4,4), (2,3) darajadagi tepaliklar bilan - buni amalga oshirishning to'rtta yo'li borligiga e'tibor bering. Agar T bilan aniqlangan chiziqli transformatsiya T (x) = Ax, bu erda A - 2 x 2 matritsa, keyin rasm ekanligini ko'rsating T (P) uning vektorli tavsifini topish orqali ham parallelogrammdir. O'zgartirilgan parallelogramm tepalari asl parallelogramm tepalarini o'zgartirib topilganligini ko'rsating P.

MATLAB-dagi rasmlarni grafika

Ning keng tarqalgan ishlatilishi fitna ma'lumotlar nuqtalarining ro'yxatini olish va ularni to'g'ri chiziqli segmentlar bilan bog'lab, ularni grafikalash. Masalan, (1,2), (3,3), (4,4), (2,3) va (1) ma'lumotlarini olish uchun birinchi ro'yxatdagi har bir raqamni ikkinchi ro'yxatdagi tegishli raqam bilan juftlashtiring. , 2) yana. Shunday qilib yuqoridagi buyruq parallelogramma grafigini hosil qiladi P bu nuqtalar bilan tepaliklar. Parallelogram butun uchastka oynasini quyidagi kabi buyruq bilan to'ldirmasligi uchun biz o'qlarni sozlashimiz mumkin Va quyidagi buyruq MATLABni vertikal va gorizontal o'qlarda bir xil o'lchovdan foydalanishga majbur qiladi. Bilan belgilangan chiziqli xaritani ko'rib chiqing (u, v) = (x - y, x + y). Keyin biz odatdagidan foydalanib samolyotning bitta nusxasini o'z ichiga oladigan fitna tuzmoqchimiz x va y coordinate and another copy of the plane where we will call the horizontal coordinate siz and the vertical coordinate v. In the xy-plane we will draw the parallelogram P and in the uv-plane we will draw its transformation under the given linear map.
The MATLAB command subplot lets us make an m x n array of plots all in the same window. In this case we will make two plots side-by-side. First we compute the vertex points for the transformed parallelogram: Next we build the plots: Since we want an array of plots with one row and two columns we start with subplot(1,2. ). When we are ready to give the details of the first plot we use subplot(1,2,1) and for the second plot we use subplot(1,2,2). In the first plot the horizontal axis is labeled x, the vertical axis is labeled y and the whole plot is in a window where x runs from -8 to 8 and so does y. There are further details to specify but we are out of room on this line. The three dots at the end allow us to continue the command on the next line. We force MATLAB to use the same scale on the vertical and horizontal axes and we give the plot a descriptive title. The second plot is very similar.

The geometric effect of the transformation (u,v) = (x + y, x - y) is clearer if we look at how the unit square transforms. It also helps to look at what happens when we apply the same transformation repeatedly. To make this easier we will use matrices. We begin as before by setting up a vectors x va y that correspond to the vertices of the unit square: Now instead of simply working with x and y as we did above, it is easier in the long run if we make a matrix S whose columns contain the vertices of the square. In other words, our vector x will be the first row of S and the vector y will be the second row: Since the vertices of the square are now listed as the columns of the matrix S, we can easily transform them. We just define the coefficient matrix for our transformation, in this case: and then multiply: We can then transform further if we wish:

Transforming a Disk

NOTE: Be sure to use the plotting optionaxis equal in the exercises below. This ensures that your disks will be round, not elliptical. Typically, the transformed disk will be elliptical and you want to get a true picture of how the disk changed under the linear transformation.

Exercise 2: Ruxsat bering S be the unit square and let T be the transformation T(x,y) = (x - y, x + y) as discussed in the examples above. Plot S, T(S), T(T(S))va T(T(T(S))) together on the same coordinate axes. Label each figure and summarize your results - that is, explain the geometric effect of the transformation T as clearly as you can.

Exercise 3: Consider the linear transformation defined by T(x,y) = (0.8x, 1.4y). What is the geometric effect of this transformation? Plot the disk D together with its transform T(D). Also include the figure you get by applying T to D five times. Label each of the three figures by hand or using the menu bars in your MATLAB plot window to add text to your plot. Again, be sure to use the axis equal option so that disks look like disks, not ellipses. What will the limit figure look like if we continue transforming by T forever?

  • Plot the unit disk D together with its transform T(D). Label each figure.
  • Plot D together with T(T(D)) and label each figure.
  • Plot D together with T(T(T(D))) and label each figure.
  • What will the limit figure look like if we continue to transform?
  • Find a single matrix for this combined transformation and use it to plot the disk D together with its transform. (This transform will be an ellipse.)
  • Find a unit vector siz on D that maps to the semimajor axis of the ellipse. What is the length of the semimajor axis? What angle does it make with the standard coordinate vector e1? You may find it useful to add a grid to your plot. You can do this by typing grid on in the MATLAB command window (just as you used commands like axis equal to adjust the plot).
  • Find a unit vector v on D that maps to the semiminor axis of the ellipse. What is the length of the semiminor axis? What angle does it make with the standard coordinate vector e2?
  • For the ellipse T(D) in exercise 4, find a vector siz in the first quadrant that forms the semimajor axis of the ellipse. Find its length and draw it in by hand on a plot of D together with T(D). You may find it helpful to put a grid onto your plot of D and T(D). This can be done by typing grid on in the MATLAB command window.
  • Similarly, find a vector v in the fourth quadrant that forms the semiminor axis of the ellipse and compute its length.
  • Find vectors in the original disk that map to the vectors siz va v that lie along the elliptical axes.
  • Decompose the transformation (x,y) -> (2x+y,x+y) from exercise 4 into a sequence of rotations and stretchings similar to those in exercise 5.

Exercise 8: Consider the basic shearing transformation (x,y) -> (x + y, y). As we discussed in class, this is a shear parallel to the horizontal axis. What happens if we consider the following sequence of transformations? If we first rotate by 45 degrees the horizontal axis moves into the line y = x. Then apply the shear (x,y) -> (x+y,y). Finally, rotate in the opposite direction by 45 degrees. What is the combined geometric effect and what is the matrix of the resulting transformation?

Exercise 9: A translation is a particularly simple kind of transformation -- for example, a map of the form (x,y) -> (x + 2, y -3) takes any figure and slides it right by 2 and down by 3. This is not a linear transformation since it cannot be expressed as a matrix A times the vector (x,y). We can use a simple trick called homogeneous coordinates to get around this difficulty if we want to combine translations with rotations or other linear transformations. We simply use (x,y,1) instead of (x,y) to talk about points in the plane. With this change of coordinate system, the translation above becomes (x,y,1) maps to (x + 2, y + 3, 1) and this we can describe this using matrix multiplication:
Rotation through an angle t can easily be translated into these coordinates as well: Multiplying these 3 x 3 matrices corresponds to composing these transformations on the plane. Find the matrix for reflection across the line y = x followed by translation by the vector (3,4).


8.5 Component and Projection

Since cos() is between 𕒵 and 1, compvsiz is a scalar between −|siz| and |siz|. In fact, it is easy to calculate that compvsiz = |siz| exactly when siz is in the direction of v and compvsiz = −|siz| exactly when siz is in the direction opposite that of v.

Projection of siz on v

As you might guess from the note above concerning the value of compvsiz qachon siz is parallel to v, it turns out that projvsiz = siz exactly when siz va v are parallel.

In this problem you are given two non-zero vectors and asked to find both compvsiz and projvsiz.

Finding Component and Projection

Note to Reviewers

We include a sample set of questions to be included in the Student Guide. These are based on the exercises in the applets and the content of each section. They are intended to be used for homework assignments and for the student to work on paper.


Combining (Rotation) Matrices

We have learned in the previous chapter that multiplying matrices together combines their transformations. Now that we know how to rotate points around individual axis, it is possible to multiply Rx, Ry, Rz together (using every possible combinations) to create more complex rotations. If for instance you want to rotate a point around the x-axis, and then the y-axis, we can create two matrices using the matrices Rx and Ry and combine them using matrix multiplication (Rx*Ry) to create a Rxy matrix encoding the two individual rotations:

Note that the order of rotation is important and makes a difference. If you rotate a point around the x-axis first and then the y-axis second, you will end up (in most cases) with a result which is different from a rotation around the y-axis then around the x-axis. In most 3D packages such as Maya, 3DSMax, Softimage, Houdini, etc. it is possible to specify the order in which the rotations takes place. For instance the order can be xyz, . (see in Maya the list of possible options).