Maqolalar

9.6: kvadrat ildizlari bilan tenglamalarni echish - matematika


O'quv maqsadlari

Ushbu bo'lim oxirida siz quyidagilarni amalga oshirishingiz mumkin:

  • Radikal tenglamalarni echish
  • Ilovalarda kvadrat ildizlardan foydalaning

Eslatma

Ishni boshlashdan oldin, ushbu viktorinadan o'ting.

  1. Soddalashtiring: ⓐ ( sqrt {9} ) ⓑ (9 ^ 2 ).
    Agar siz ushbu muammoni o'tkazib yuborsangiz, 9.1.1-misol va 1.3.22-mashqni ko'rib chiqing.
  2. Yeching: 5 (x + 1) -4 = 3 (2x-7).
    Agar siz ushbu muammoni o'tkazib yuborsangiz, 2.4.16-mashqni ko'rib chiqing.
  3. Eritma: (n ^ 2−6n + 8 = 0 ).
    Agar siz ushbu muammoni o'tkazib yuborsangiz, 7.6.13-mashqni ko'rib chiqing.

Radikal tenglamalarni echish

Ushbu bo'limda biz kvadrat ildizning radikandida o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalarni echamiz. Ushbu turdagi tenglamalar radikal tenglamalar deyiladi.

Ta'rif: Radikal tenglama

O'zgaruvchisi kvadrat ildizning radikandida bo'lgan tenglama a deb ataladi radikal tenglama.

Odatdagidek, bu tenglamalarni echishda biz tenglamaning bir tomoniga nima qilsak, boshqa tomoniga ham qilishimiz kerak. Miqdorni kvadratga aylantirish va kvadrat ildizni olish "qarama-qarshi" operatsiyalar bo'lgani uchun, biz radikal belgini olib tashlash va ichidagi o'zgaruvchini echish uchun ikkala tomonni ham kvadratga aylantiramiz.

Shuni esda tutingki, biz ( sqrt {a} ) yozganda biz asosiy kvadrat ildizni nazarda tutamiz. Shunday qilib har doim ( sqrt {a} ge 0 ). Radikal tenglamalarni ikkala tomonni ham kvadratga aylantirib yechishda ( sqrt {a} ) manfiyga aylanadigan algebraik yechim olishimiz mumkin. Ushbu algebraik echim asl nusxaga yechim bo'lmaydi radikal tenglama; bu begona eritma. Ratsional tenglamalarni echishda ham biz begona echimlarni ko'rdik.

Misol ( PageIndex {1} )

( Sqrt {x + 2} = x ) tenglama uchun:

  1. X = 2 yechimmi?
  2. $ X = -1 $ echimmi?
Javob

1. x = 2 yechimmi?

Ruxsat bering x = 2.
Soddalashtiring.
2 - bu echim.

2. x = -1 yechimmi?

Ruxsat bering x = −1.
Soddalashtiring.
-1 yechim emas.
Ph1 - bu tenglamaning begona echimi.

Misol ( PageIndex {2} )

( Sqrt {x + 6} = x ) tenglama uchun:

  1. X = -2 yechimmi?
  2. X = 3 echimmi?
Javob
  1. yo'q
  2. ha

Misol ( PageIndex {3} )

( Sqrt {−x + 2} = x ) tenglama uchun:

  1. X = -2 yechimmi?
  2. X = 1 echimmi?
Javob
  1. yo'q
  2. ha

Endi biz radikal tenglamani qanday hal qilishni ko'rib chiqamiz. Bizning strategiyamiz kvadrat ildiz otish va kvadrat hosil qilish o'rtasidagi bog'liqlikka asoslangan.

(A ge 0 ) uchun, (( sqrt {a}) ^ 2 = a )

Radikal tenglamalarni qanday echish mumkin?

Misol ( PageIndex {4} )

Yechish: ( sqrt {2x-1} = 7 )

Javob

Misol ( PageIndex {5} )

Yeching: ( sqrt {3x − 5} = 5 ).

Javob

10

Misol ( PageIndex {6} )

Yeching: ( sqrt {4x + 8} = 6 ).

Javob

7

Ta'rif: Radikal tenglikni echish.

  1. Tenglamaning bir tomonidagi radikalni ajratib oling.
  2. Tenglamaning ikkala tomonini ham kvadrat shaklida qiling.
  3. Yangi tenglamani eching.
  4. Javobni tekshiring.

Misol ( PageIndex {7} )

Yeching: ( sqrt {5n-4} -9 = 0 ).

Javob
Radikalni ajratish uchun ikkala tomonga 9 qo'shing.
Soddalashtiring.
Tenglamaning ikkala tomonini ham kvadrat shaklida qiling.
Yangi tenglamani eching.

Javobni tekshiring.

Yechim n = 17.

Misol ( PageIndex {8} )

Yeching: ( sqrt {3m + 2} -5 = 0 ).

Javob

( frac {23} {3} )

Misol ( PageIndex {9} )

Yeching: ( sqrt {10z + 1} -2 = 0 ).

Javob

( frac {3} {10} )

Misol ( PageIndex {10} )

Yeching: ( sqrt {3y + 5} + 2 = 5 ).

Javob
Radikalni ajratish uchun ikkala tomondan 2 ni chiqarib oling.
Soddalashtiring.
Tenglamaning ikkala tomonini ham kvadrat shaklida qiling.
Yangi tenglamani eching.

Javobni tekshiring.

Qaror (y = frac {4} {3} )

Misol ( PageIndex {11} )

Yeching: ( sqrt {3p + 3} + 3 = 5 ).

Javob

( frac {1} {3} )

Misol ( PageIndex {12} )

Yeching: ( sqrt {5q + 1} + 4 = 6 ).

Javob

( frac {3} {5} )

Radikal belgini ishlatganda biz asosiy yoki ijobiy ildizni nazarda tutamiz. Agar tenglamada manfiy songa teng kvadrat ildiz bo'lsa, u tenglamada echim bo'lmaydi.

Misol ( PageIndex {13} )

Yeching: ( sqrt {9k-2} + 1 = 0 ).

Javob
Radikalni ajratish uchun ikkala tomondan 1ni olib tashlang.
Soddalashtiring.
Kvadrat ildiz manfiy songa teng bo'lgani uchun tenglamada echim yo'q.

Misol ( PageIndex {14} )

Yechish: ( sqrt {2r-3} + 5 = 0 )

Javob

echim yo'q

Misol ( PageIndex {15} )

Yeching: ( sqrt {7s-3} + 2 = 0 ).

Javob

echim yo'q

Agar tenglamaning bir tomoni binomial bo'lsa, uni kvadratiga qo'yganimizda binomial kvadratlar formulasidan foydalanamiz.

Ta'rif: BINOMIAL Kvadratchalar

[ begin {array} {cc} {(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} & {(a-b) ^ 2 = a ^ 2−2ab + b ^ 2} nonumber end {array} ]

O'rta muddatli istiqbolni unutmang!

Misol ( PageIndex {17} )

Yeching: ( sqrt {x-2} + 2 = x ).

Javob

2, 3

Misol ( PageIndex {18} )

Yeching: ( sqrt {y-5} + 5 = y ).

Javob

5, 6

Misol ( PageIndex {19} )

Yeching: ( sqrt {r + 4} −r + 2 = 0 ).

Javob
( sqrt {r + 4} −r + 2 = 0 )
Radikalni ajratib oling. ( sqrt {r + 4} = r-2 )
Tenglamaning ikkala tomonini ham kvadrat shaklida qiling. (( sqrt {r + 4}) ^ 2 = (r-2) ^ 2 )
Yangi tenglamani eching. (r + 4 = r ^ 2-4 r + 4 )
Bu kvadratik tenglama, shuning uchun bir tomonda nolni oling. (0 = r ^ 2−5r )
Faktorning o'ng tomoni. (0 = r (r-5) )
Nolinchi mahsulot xususiyatidan foydalaning.0 = r 0 = r-5
Tenglamani eching.r = 0 r = 5

Javobni tekshiring.

r = 5
r = 0 tashqi eritma.

Misol ( PageIndex {20} )

Yeching: ( sqrt {m + 9} −m + 3 = 0 ).

Javob

7

Misol ( PageIndex {21} )

Yechish: ( sqrt {n + 1} -n + 1 = 0 )

Javob

3

Radikal oldida koeffitsient mavjud bo'lganda, biz ham uni kvadratga solishimiz kerak.

Misol ( PageIndex {22} )

Yeching: (3 sqrt {3x-5} -8 = 4 ).

Javob
(3 sqrt {3x-5} -8 = 4 )
Radikalni ajratib oling. (3 sqrt {3x-5} = 12 )
Tenglamaning ikkala tomonini ham kvadrat shaklida qiling. ((3 sqrt {3x-5}) ^ 2 = (12) ^ 2 )
Soddalashtiring, so'ngra yangi tenglamani eching.9 (3x-5) = 144
Tarqatish.27x-45 = 144
Tenglamani eching.27x = 189
x = 7

Javobni tekshiring.

Yechim x = 7.

Misol ( PageIndex {23} )

Yeching: ( sqrt {24a + 2} -16 = 16 ).

Javob

( frac {127} {2} )

Misol ( PageIndex {24} )

Yeching: ( sqrt {36b + 3} -25 = 50 ).

Javob

( frac {311} {3} )

Misol ( PageIndex {25} )

Yeching: ( sqrt {4z-3} = sqrt {3z + 2} ).

Javob
( sqrt {4z-3} = sqrt {3z + 2} )
Radikal atamalar ajratilgan ( sqrt {4z-3} = sqrt {3z + 2} )
Tenglamaning ikkala tomonini ham kvadrat shaklida qiling. (( sqrt {4z-3}) ^ 2 = ( sqrt {3z + 2}) ^ 2 )
Soddalashtiring, so'ngra yangi tenglamani eching4z-3 = 3z + 2
z-3 = 2
z = 5
x = 7

Javobni tekshiring.

Sizga 5 ta chekni ko'rsatib berishni topshiramiz!

Yechim z = 5.

Misol ( PageIndex {26} )

Eritma: ( sqrt {2x-5} = sqrt {5x + 3} ).

Javob

echim yo'q

Misol ( PageIndex {27} )

Eritma: ( sqrt {7y + 1} = sqrt {2y-5} ).

Javob

echim yo'q

Ba'zan tenglamaning ikkala tomonini kvadratga o'tkazgandan so'ng, biz hali ham radikal ichida o'zgaruvchiga egamiz. Bu sodir bo'lganda, biz protseduramizning 1-va 2-bosqichlarini takrorlaymiz. Tenglamaning har ikkala tomonini yana radikal va kvadrat ajratamiz.

Misol ( PageIndex {28} )

Yeching: ( sqrt {m} + 1 = sqrt {m + 9} ).

Javob
( sqrt {m} + 1 = sqrt {m + 9} )

O'ng tarafdagi radikal ajratilgan.

Ikkala tomonni ham kvadrat shaklida qiling

(( sqrt {m} +1) ^ 2 = ( sqrt {m + 9}) ^ 2 )
Soddalashtiring - ko'paytirganda juda ehtiyot bo'ling! (m + 2 sqrt {m} + 1 = m + 9 )

Tenglamada hali ham radikal mavjud.

Shunday qilib, avvalgi qadamlarni takrorlashimiz kerak. Radikalni ajratib oling.

(2 sqrt {m} = 8 )
Ikkala tomonni ham kvadrat shaklida qiling. ((2 sqrt {m}) ^ 2 = (8) ^ 2 )
Soddalashtiring, so'ngra yangi tenglamani eching.4m = 64
m = 16

Javobni tekshiring.

M = 16 chexlar ekanligini ko'rsatishni sizga qoldiramiz!

Yechim m = 16.

Misol ( PageIndex {29} )

Yeching: ( sqrt {x} + 3 = sqrt {x + 5} ).

Javob

echim yo'q

Misol ( PageIndex {30} )

Yeching: ( sqrt {m} + 5 = sqrt {m + 16} ).

Javob

echim yo'q

Misol ( PageIndex {31} )

Yeching: ( sqrt {q-2} + 3 = sqrt {4q + 1} ).

Javob
( sqrt {q-2} + 3 = sqrt {4q + 1} )

O'ng tarafdagi radikal ajratilgan.

Ikkala tomonni ham kvadrat shaklida qiling

(( sqrt {q-2} +3) ^ 2 = ( sqrt {4q + 1}) ^ 2 )
Soddalashtiring. (q-2 + 6 sqrt {q-2} + 9 = 4q + 1 )

Tenglamada hali ham radikal mavjud.

Shunday qilib, avvalgi qadamlarni takrorlashimiz kerak. Radikalni ajratib oling.

(6 sqrt {q − 2} = 3q − 6 )
Ikkala tomonni ham kvadrat shaklida qiling. ((6 sqrt {q-2}) ^ 2 = (3q-6) ^ 2 )
Soddalashtiring, so'ngra yangi tenglamani eching. (36 (q-2) = 9q ^ 2−36q + 36 )
Tarqatish. (36q-72 = 9q ^ 2−36q + 36 )
Bu kvadratik tenglama, shuning uchun bir tomonda nolni oling. (0 = 9q ^ 2−72q + 108 )
Faktorni o'ng tomoni.

(0 = 9 (q ^ 2−8q + 12) )

(0 = 9 (q-6) (q-2) )

Nolinchi mahsulot xususiyatidan foydalaning [ begin {array} {ll} {q − 6 = 0} & {q − 2 = 0} {q = 6} & {q = 2} nonumber end {array} ]

Cheklar sizga qoldiriladi. (Ikkala echim ham ishlashi kerak.)

Yechimlari q = 6 va q = 2.

Misol ( PageIndex {32} )

Eritma: ( sqrt {y-3} + 2 = sqrt {4y + 2} ).

Javob

echim yo'q

Misol ( PageIndex {33} )

Yeching: ( sqrt {n-4} + 5 = sqrt {3n + 3} ).

Javob

echim yo'q

Ilovalarda kvadrat ildizlardan foydalaning

Kollej kurslarida o'sishda siz ko'plab fanlarda kvadrat ildizlarni o'z ichiga olgan formulalarga duch kelasiz. Biz allaqachon geometriya dasturlarini echish uchun formulalardan foydalanganmiz.

Biz har qanday intizomdan formulalar bilan dasturlarni echish rejasini tuzish uchun ozgina o'zgartirishlar kiritgan holda geometriya dasturlari uchun muammolarni hal qilish strategiyamizdan foydalanamiz.

Ta'rif: FORMULA BILAN Ilovalarni hal qilish.

  1. O'qing muammo va barcha so'zlar va g'oyalar tushunilganligiga ishonch hosil qiling. Kerak bo'lsa, rasm chizib, unga berilgan ma'lumotlar bilan yorliq qo'ying.
  2. Aniqlang nima qidirmoqdamiz.
  3. Ism biz uni ifodalash uchun o'zgaruvchini tanlab nima qidirmoqdamiz.
  4. Tarjima qiling vaziyat uchun mos formulani yoki modelni yozish orqali tenglamaga. Berilgan ma'lumot bilan almashtiring.
  5. Tenglamani eching yaxshi algebra usullaridan foydalangan holda.
  6. Tekshiring muammodagi javob va uning mantiqiy ekanligiga ishonch hosil qiling.
  7. Javob to'liq jumla bilan savol.

Uzunligi to'rtburchakning maydonini topish uchun A = L · W formuladan foydalandik L va kengligi V. Kvadrat - bu uzunlik va kenglik teng bo'lgan to'rtburchak. Agar biz ruxsat bersak s kvadrat tomonining uzunligi bo'lsin, kvadratning maydoni (s ^ 2 ) ga teng.

(A = s ^ 2 ) formulasi bizga kvadrat uzunligini beradi, agar biz tomonning uzunligini bilsak. Agar ma'lum bir maydon uchun tomonning uzunligini topmoqchi bo'lsak nima bo'ladi? Unda biz uchun tenglamani echishimiz kerak s.

[ begin {array} {ll} {} & {A = s ^ 2} { text {Ikkala tomonning kvadrat ildizini oling.}} & { sqrt {A} = sqrt {s ^ 2 }} { text {Soddalashtirish.}} & {s = sqrt {A}} nonumber end {array} ]

(S = sqrt {A} ) formuladan berilgan maydon uchun kvadrat tomonining uzunligini topishimiz mumkin.

Ta'rif: Kvadrat maydoni

Buning misolini keyingi misolda ko'rsatamiz.

Misol ( PageIndex {34} )

Mayk va Lyhel to'rtburchak veranda qilishni xohlashadi. Ularda 200 kvadrat metr maydonni qoplash uchun etarli beton bor. Verandaning har ikki tomonining uzunligini topish uchun (s = sqrt {A} ) formuladan foydalaning. Javobingizni oyoqning o'ndan biriga yaqinlashtiring.

Javob
Qadam 1. O'qing muammo. Shaklni chizish va
uni berilgan ma'lumotlar bilan belgilang.
A = 200 kvadrat metr
Qadam 2. Aniqlang nima qidiryapsizKvadrat verandaning yon tomonining uzunligi.
Qadam 3. Ism nima qidiryapsiz
uni ifodalash uchun o'zgaruvchini tanlash.
Ruxsat bering s = tomonning uzunligi.
Qadam 4. Tarjima qiling yozish orqali tenglamaga
vaziyat uchun mos formula yoki model.
Berilgan ma'lumotlarni almashtiring.
Qadam 5. Tenglamani eching yaxshi algebra yordamida
texnikasi. O'nli kasrga aylantiring.
Qadam 6. Tekshiring muammodagi javob va
mantiqiy ekanligiga ishonch hosil qiling.
Bu etarlicha yaqin, chunki biz dumaloqlashtirdik
kvadrat ildiz.
14,1 metrli veranda oqilona emasmi?
Ha.
Qadam 7. Javob bering to'liq savol bilan
hukm.
Verandaning har bir tomoni 14,1 metr bo'lishi kerak.

Misol ( PageIndex {35} )

Keti o'zining old hovlisiga to'rtburchak maysazor ekmoqchi. Unda 370 kvadrat metr maydonni qoplash uchun etarlicha sodali suv bor. (S = sqrt {A} ) formuladan foydalanib, maysazorining har ikki tomonining uzunligini toping. Javobingizni oyoqning o'ndan biriga yaqinlashtiring.

Javob

19,2 fut

Misol ( PageIndex {36} )

Serxio o'zi qurayotgan stolga mozaik sifatida to'rtburchak mozaikani yasamoqchi. Unda 2704 kvadrat santimetr maydonni qoplash uchun etarlicha kafel bor. Uning mozaikasining har bir tomoni uzunligini topish uchun (s = sqrt {A} ) formuladan foydalaning. Javobingizni oyoqning o'ndan biriga yaqinlashtiring.

Javob

52,0 sm

Kvadrat ildizlarning yana bir qo'llanilishi tortishish kuchi bilan bog'liq.

Ta'rif: Yiqilish ob'ekti

Erda, biron bir narsa hh fut balandlikdan tashlansa, erga etib borish uchun bir necha soniya davom etadigan vaqt formuladan foydalanib topiladi,

(t = frac { sqrt {h}} {4} )

Masalan, agar biror narsa 64 fut balandlikdan tashlansa, formulaga h = 64 o'rnini bosib, erga etib boradigan vaqtni topishimiz mumkin.

64 ning kvadrat ildizini oling.
Kasrni soddalashtiring.

64 fut balandlikdan tushgan narsa erga etib borishi uchun 2 soniya kerak bo'lar edi.

( PageIndex {38} ) mashqlari

Vertolyot qutqaruv paketini 1296 fut balandlikdan tashlagan. (T = frac { sqrt {h}} {4} ) formuladan foydalanib, paketning erga etib borishi uchun necha soniya vaqt ketganini aniqlang.

Javob

9 soniya

Misol ( PageIndex {39} )

Deraza yuvish vositasi piyodalar yo'lagidan 196 fut balandlikdagi platformadan shlakni tashladi. U003e (t = frac { sqrt {h}} {4} ) formulasidan foydalanib, trakka piyodalar yo'lagiga necha soniya etib kelganini aniqlang.

Javob

3,5 soniya

Avtohalokatlarni tergov qilayotgan politsiyachilar yulka ustidagi skid izlari uzunligini o'lchaydilar. Keyin ular tezlikni aniqlash uchun kvadrat ildizlardan foydalanadilar, soatiga millarda, tormoz bosmasdan oldin mashina ketayotgan edi.

Ta'rif: skid markalari va avtoulovning tezligi

Agar skid belgilarining uzunligi bo'lsa d oyoqlar, keyin tezlik, s, tormoz bosilgunga qadar mashinani formuladan foydalanib topish mumkin,

(s = sqrt {24d} )

Misol ( PageIndex {41} )

Avtohalokat bo'yicha tergovchi mashinaning skid izlarini o'lchadi. Skid belgilarining uzunligi 76 fut edi. Tormoz bosilgunga qadar mashinaning tezligini topish uchun (s = sqrt {24d} ) formuladan foydalaning. Javobingizni o'ninchi o'nlikka yaqinlashtiring.

Javob

42,7 fut

Misol ( PageIndex {42} )

Avtohalokatga uchragan transport vositasining skid belgilari 122 fut uzunlikda bo'lgan. Tormoz bosilgunga qadar transport vositasining tezligini topish uchun (s = sqrt {24d} ) formuladan foydalaning. Javobingizni o'ninchi o'nlikka yaqinlashtiring.

Javob

54,1 fut

Asosiy tushunchalar

  • Radikal tenglamani echish uchun:
    1. Tenglamaning bir tomonidagi radikalni ajratib oling.
    2. Tenglamaning ikkala tomonini ham kvadrat shaklida qiling.
    3. Yangi tenglamani eching.
    4. Javobni tekshiring. Olingan ba'zi echimlar asl tenglamada ishlamasligi mumkin.
  • Ilovalarni formulalar bilan hal qilish
    1. O'qing muammo va barcha so'zlar va g'oyalar tushunilganligiga ishonch hosil qiling. Berilgan ma'lumot bilan almashtiring.
    2. Tenglamani eching yaxshi algebra usullaridan foydalangan holda.
    3. Tekshiring muammodagi javob va uning mantiqiy ekanligiga ishonch hosil qiling.
    4. Javob to'liq jumla bilan savol.
  • Maydon maydoni
  • Falling Objects
    • Agar Yerda biron bir narsa hh fut balandlikdan tashlansa, erga etib borishi uchun soniyalardagi vaqt (t = frac { sqrt {h}} {4} ) formulasi yordamida topiladi. .
  • Skid belgilari va avtomobilning tezligi
    • Agar skid belgilarining uzunligi bo'lsa d oyoqlar, keyin tezlik, s, tormoz bosilgunga qadar avtomobilni (s = sqrt {24d} ) formulasi yordamida topish mumkin.

Lug'at

radikal tenglama
O'zgaruvchisi kvadrat ildizning radikandida bo'lgan tenglama radikal tenglama deyiladi

9.6: kvadrat ildizlari bilan tenglamalarni echish - matematika

Dastlab, men sizning dasturiy ta'minotingiz boshlang'ich va o'rta maktab darajasiga qaratilgan degan taassurot qoldirgan edim, shuning uchun men undan umuman foydalanmadim. Va nihoyat, bir kecha men bir injiqlik bilan uni sinab ko'rdim va dastlabki o'rganish egri chizig'idan o'tib, uning qanchalik rivojlanganiga shunchaki uchib ketdim! Demak, Ill antropologiyada mening BS-dan to'liq foydalanmoqda!
M.V., Texas

Menga dasturiy ta'minotning tartibi yoqadi va men ularni bolalarga kompyuterga yukladim, chunki ular uy vazifalarida foydalanishi mumkin.
Deyl Morrisey, Fl

Ushbu dastur men ilgari ko'rgan yoki sinfi davomida amalga oshirishni ma'qul ko'rgan algebra o'qitishni bosqichma-bosqich eng muvaffaqiyatli hal etish uchun asos yaratdi. Avvalgi telefon suhbatlarimizda aytib o'tganimdek, o'quvchilarimizning standartlashtirilgan matematik tushunish testlarining haqiqiy natijalarini tuzishda, dasturiy ta'minotingiz amalga oshirilishidan oldingi va undan keyingi davrlarning ma'lumotlaridan foydalangan holda, qiyosiy farq haqiqatan ham aniq.
D.E., Kentukki

Algebrator - men foydalangan eng yaxshi dastur! Men hech qachon matematikada ishlatiladigan turli xil formulalar va qoidalarni o'rganaman deb o'ylamagan edim, ammo sizning dasturiy ta'minotingiz buni osonlashtirdi. Uni yaratganingiz uchun katta rahmat. Endi algebra darsimga borishdan qo'rqmayman. Rahmat!
Leonardo Groh, OH

O'g'lim algebra bo'yicha uy vazifasini bajarish uchun repetitor saqlashim uchun doim meni tinchlantirardi. Keyin do'stim menga ushbu "Algebrator" dasturi haqida gapirib berdi. Dastlab, men bir oz ikkilanib turardim, chunki u odatda repetitorga ega bo'lgan odamlarning o'zaro ta'sirining etishmasligidan qo'rqardim. Biroq, men o'g'limdan buni sinab ko'rishini so'radim. Va men ushbu dasturni yoqtirishni rivojlantirganini ko'rib hayron qoldim. Matematikadan emasligim va maktab algebrasini unutganim sababini ayta olmayman. Ammo, men hozir o'g'lim bu mavzuda qulayligini ko'rmoqdaman.
Villi Taker, NJ.


9.6: Kvadrat ildizli tenglamalarni echish - Matematika

Ushbu bo'limning sarlavhasi biroz chalg'itishi mumkin. Sarlavha biz har qanday radikallarni o'z ichiga olgan tenglamalarni ko'rib chiqamiz degan ma'noni anglatadi. Biroq, biz kvadrat ildizlarni o'z ichiga olgan tenglamalar bilan cheklanib qolamiz. Biz bu erda qo'llanadigan usullardan boshqa radikallar bilan tenglamalarni echishda foydalanishimiz mumkin, ammo ish odatda kvadrat ildizlarga nisbatan ancha chigalroq bo'ladi. Shuning uchun biz ushbu bo'limda faqat kvadrat ildizlar bilan ishlaymiz.

Davom etishdan oldin ba'zi bir Algebra darsliklarida siz ushbu bo'limni kvadratik formada qisqartiriladigan tenglamalar bilan topishingizni eslatib o'tishingiz kerak. Sababi shundaki, biz aslida ko'p hollarda kvadrat tenglamani echishga erishamiz. Biroq, yondashuv sezilarli darajada farq qiladi va shuning uchun biz ushbu mavzudagi ikkita mavzuni turli bo'limlarga ajratamiz.

Odatda bu qanday ishlashini misol bilan ko'rish yaxshiroqdir.

Ushbu tenglamada asosiy muammo kvadrat ildiz hisoblanadi. Agar u erda bo'lmaganida biz muammoga duch kelishimiz mumkin edi. Biz bu erda o'tadigan barcha jarayon kvadrat ildizni yo'q qilish uchun o'rnatildi. Ammo, biz ko'rib turganimizdek, biz bajaradigan qadamlar aslida biz uchun muammolarni keltirib chiqarishi mumkin. Shunday qilib, keling, bularning barchasi qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

E'tibor bering, agar biz ikkala tomonni ham kvadratga aylantirsak, biz kvadrat ildizni yo'q qila olamiz. Buni qilaylik va nima bo'lishini ko'rib chiqaylik.

Ikkala tomonni ham kvadratga o'tkazganimizda, biz $ (x = 3 ) $ va (x = - 2 ) ikkita echimini beradigan faktorli kvadratik tenglamani olamiz.

Keling, hech qanday sababsiz, chiziqli tenglamalarni echish bo'limidan beri biz aslida qilmagan narsani qilaylik. Javoblarimizni tekshirib chiqamiz. Javoblarni asl tenglamada tekshirishimiz kerakligini unutmang! Bu juda muhim.

Shunday qilib (x = 3 ) bu yechim. Endi (x = - 2 ) ni tekshiramiz.

Bizda muammo bor. Eslatib o'tamiz, kvadrat ildizlar HAMMA ijobiy va shuning uchun (x = - 2 ) asl tenglamada ishlamaydi. Bu erda bitta imkoniyat - biz biron joyda xato qilganimiz. Orqaga qaytib, qarashimiz mumkin va biz xato qilmaganligimizni tezda anglaymiz.

Xo'sh, kelishuv nima? Yechimdagi birinchi qadamimiz ikkala tomonni kvadratga solish bo'lganini unutmang. E'tibor bering, agar biz $ ((x = - 2 ) $ ni kvadratikka qo'shsak, biz buni hal qildik. Tenglamaning ikkala tomonini ham kvadratga aylantirganimizda, biz aslida tenglamani o'zgartirdik va bu jarayonda dastlabki tenglamaning echimi bo'lmagan echimni kiritdik.

Ushbu muammolar bilan siz o'zingizning echimlaringizni tekshirishingiz juda muhimdir, chunki bu ko'pincha sodir bo'ladi. Bu holda biz faqat asl tenglamaning haqiqiy echimi bo'lgan qiymatlarni qabul qilamiz.

Shunday qilib, dastlabki tenglama bitta echimga ega edi (x = 3 ).

Endi bu misol bizga ko'rsatganidek, biz ushbu tenglamalarni echishda juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Kvadratik echishda biz ikkita echimni olamiz va ularning ikkalasi ham, ulardan biri yoki bu qiymatlarning hech biri asl tenglamaning echimi bo'lmasligi mumkin. Bilishning yagona usuli - bu sizning echimlaringizni tekshirish!

Keling, biroz qiyinroq bo'lgan yana ikkita misolni keltiraylik.

Bunday holda, agar ikkala tomonni kvadratga aylantirsak, muammolarga duch kelamiz.

Biz bu erga kelgan muammoni muhokama qilishdan oldin, keling, yuqorida aytib o'tganimizdek kvadratni bajarishingizga ishonch hosil qiling, chunki u vaqti-vaqti bilan paydo bo'ladi. Biz bu erda faqat formuladan foydalanganmiz

bilan (a = y ) va (b = sqrt ). Siz bunga qodir bo'lishingiz kerak bo'ladi, chunki bu erda ishlamagan bo'lishi mumkin bo'lsa-da, biz keyingi muammolar to'plamida bunday ishni bajarishimiz kerak bo'ladi.

Endi bu bilan qanday muammo bor? Esingizda bo'lsa, birinchi masalada ikkala tomonni kvadratga aylantirish orqasidagi nuqta kvadrat ildizni yo'q qilish edi. Biz buni qilmadik. Muammoning haligacha kvadrat ildizi mavjud va biz muammo qoldig'ini ham yaratdik.

Shunday qilib, biz bu erda qilishimiz kerak bo'lgan narsa, kvadratni olishdan oldin tenglamaning bir tomonida o'z-o'zidan kvadrat ildiz hosil qilganimizga ishonch hosil qiling. Bu amalga oshirilgandan so'ng biz ikkala tomonni ham kvadratga aylantira olamiz va kvadrat ildiz haqiqatan ham yo'qoladi.

Mana bu muammoni hal qilishning to'g'ri usuli.

Birinchi misolda bo'lgani kabi, biz ushbu echimlarning ikkalasiga ham ishonch hosil qilishimiz va tekshirishimiz kerak bo'ladi. Shunga qaramay, asl tenglamani tekshirganingizga ishonch hosil qiling. Ikkala tomonni ham kvadratga aylantirganimizdan so'ng, biz muammoni o'zgartirdik va shuning uchun u erda tekshirish bizga foyda keltirmaydi. Darhaqiqat, u erda tekshirish bizni muammoga olib kelishi mumkin.

Shunday qilib, bu echim. Endi (y = 5 ).

[oshlash5 + sqrt <5 - 4> & mathop = limitlar ^? 4 5 + sqrt 1 & mathop = limitlar ^? 4 6 & ne 4 hspace <0.25in> < mbox> < mbox> end]

Shunday qilib, biz ishlagan birinchi misolda bo'lgani kabi, aslida asl tenglamaning yagona echimi mavjud, (y = 4 ).

Yaxshi, shuning uchun biz yana ikkala tomonni kvadratga aylantirishdan oldin yana bir tomondan kvadrat ildiz olishimiz kerak bo'ladi.

Demak, bu safar bizda ikki baravar ildiz bor. Haqiqatan ham asl tenglamaning echimi ekanligini tekshirish uchun uni tekshirib ko'ramiz.

[oshlash1 & mathop = limitlar ^? 2 + sqrt <2 chap (2 o'ng) - 3> 1 & mathop = limitlar ^? 2 + sqrt 1 1 & ne 3 end]

Demak, (t = 2 ) asl tenglamaning echimi emas. Bu mumkin bo'lgan yagona echim bo'lganligi sababli, bu mavjudligini anglatadi echimlar yo'q asl tenglamaga. Bu tez-tez sodir bo'lmaydi, lekin bu sodir bo'ladi, shuning uchun sodir bo'lganda bunga hayron bo'lmang.

Bu avvalgi ikkitasi bilan ishlaydi.

Keling, ushbu mumkin bo'lgan echimlarni (z = - 1 ) bilan boshlaymiz.

Shunday qilib, bu echim edi. Endi (z = 2 ) ni tekshiramiz.

[oshlash sqrt <5 chap (2 o'ng) + 6> - 2 & mathop = limitlar ^? 2 sqrt <16> - 2 & mathop = limitlar ^? 2 4 - 2 & = 2 hspace <0.25in> < mbox> end]

Shunday qilib, bu holda biz har ikkala mumkin bo'lgan echimlar aslida asl tenglamaning echimlari bo'lgan misolni ko'rdik.

Shunday qilib, avvalgi misollar to'plamida ko'rganimizdek, har qanday joydan mumkin bo'lgan echimlar ro'yxatini olgach, ularning barchasi asl tenglamaning echimlari bo'lishi mumkin. Javoblaringizni tekshirishni doimo unutmang!

Xo'sh, keling, ularga qo'shimcha murakkablik keltiradigan yana bir qator misollarni ishlab chiqaylik. Shu nuqtaga qadar biz ko'rib chiqqan barcha tenglamalarda bitta kvadrat ildiz bor edi. Biroq, bu tenglamalarda bir nechta kvadrat ildiz bo'lishi mumkin. Keyingi misollar to'plami ushbu turdagi muammolarni qanday hal qilishni ko'rsatishga mo'ljallangan.

Ularning ikkalasida ham muammoning ikkita kvadrat ildizi mavjud. Ammo biz ularni asosan xuddi shu tarzda ishlaymiz. Birinchi qadam, tenglamaning bir tomonida kvadrat ildizlardan birini o'z-o'zidan olish, keyin ikkala tomonni kvadrat olishdir. Bu erda jarayon boshqacha, shuning uchun biz birinchi misolda unga etib borganimizdan keyin qanday qilib bu bosqichdan o'tishni bilib olamiz.

Shunday qilib, birinchi navbatda kvadrat ildizlardan birini o'z-o'zidan olish kerak. Qaysi birini o'zi olishimiz muhim emas. Oxirida biz bir xil echim (lar) ni topamiz.

Endi, bizda muammo hali ham kvadrat ildizga ega, ammo biz ulardan birini yo'q qilishga muvaffaq bo'ldik. Nafaqat u, balki bu erda qolgan narsalar ushbu bo'limning birinchi qismida ishlagan misollarimiz bilan bir xildir. Shuning uchun, biz avvalgi misollar to'plamida bo'lgani kabi, ushbu muammoni hal qilishda davom etamiz.

[oshlash < chap ( o'ng) ^ 2> & = < chap (<4 sqrt > o'ng) ^ 2> - 2x + 1 & = 16 chap ( o'ng) - 2x + 1 & = 16x - 64 - 18x + 65 & = 0 chap ( o'ng) chap ( o'ng) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = 13, , , , x = 5 end]

Keling, har ikkala mumkin bo'lgan echimlarni asl tenglamada tekshirib ko'raylik. Biz (x = 13 ) bilan boshlaymiz

[oshlash sqrt <2 chap (<13> o'ng) - 1> - sqrt <13 - 4> & mathop = limitlar ^? 2 sqrt <25> - sqrt 9 & mathop = limitlar ^? 2 5 - 3 & = 2 hspace <0.25in> hspace <0.25in> < mbox> end]

Shunday qilib, bitta echim. Endi (x = 5 ) ni tekshiramiz.

[oshlash sqrt <2 chap (5 o'ng) - 1> - sqrt <5 - 4> & mathop = limitlar ^? 2 sqrt 9 - sqrt 1 & mathop = limitlar ^? 2 3 - 1 & = 2 hspace <0.25in> < mbox> end]

Demak, ularning ikkalasi ham asl tenglamaning echimidir.

Bu holda biz allaqachon bir tomondan kvadrat ildizni o'zimiz oldik, shunda biz ikkala tomonni kvadratchalashga o'tishimiz mumkin.

Keyinchalik, qolgan kvadrat ildizni bir tomonga qaytarib oling va ikkala tomonni yana kvadratlang.

Endi ikkala mumkin bo'lgan echimlarni (t = 2 ) bilan boshlang.

[oshlash sqrt <2 + 7> + 2 & mathop = limitlar ^? sqrt <3 - 2> sqrt 9 + 2 & mathop = limitlar ^? sqrt 1 3 + 2 & ne 1 hspace <0.25in> < mbox> end]

Shunday qilib, bu yechim emas edi. Endi tekshiramiz (t = - 6 ).

[oshlash sqrt <- 6 + 7> + 2 & mathop = limitlar ^? sqrt <3 - chap (<- 6> o'ng)> sqrt 1 + 2 & mathop = limitlar ^? sqrt 9 1 + 2 & = 3 hspace <0.25in> < mbox> end]

Bu holda biz bitta echimga ega bo'lamiz, (t = - 6 ).

Shunday qilib, muammoda bir nechta kvadrat ildiz mavjud bo'lganda, biz yana mumkin bo'lgan echimlarni tekshirish vazifasi bilan duch kelamiz. Ehtimol, hech kimdan tortib to barcha mumkin bo'lgan echimlar echimlar bo'lishi mumkin va aniq bilishning yagona usuli ularni asl tenglamada tekshirishdir.


Kvadrat ildiz tenglamalarini echish ish varag'i javob kaliti

Kvadrat ildizga javob kalitini echish. Ushbu kontseptsiya uchun topilgan eng yaxshi 8 ta ish varag'ini ko'rsatadigan kvadrat ildiz javobiga javob tugmachasini echish.

Kata bo'yicha kvadrat ish sahifasini ilhomlantiruvchi pinni 2020 yilda to'ldirish, kvadrat tenglamalarni echish uchun kvadrat matematikani to'ldirish.

Ushbu kontseptsiyaning ba'zi bir ish varaqlari kvadrat ildizlarni echadigan kvadratik ildizlarning tenglamalari, kvadratik tenglamalarni echadigan kvadratik ildizlar kvadrat qonunlari kvadrat ildizlari ishi matematikasi 154b kvadratning ildizlari xususiyati matematikaning 6 ta eslatmalarining nomi.

Kvadrat ildiz tenglamalarini echish ish varag'i javob kaliti. Ko'rsatilgan ba'zi bir ish varaqlari kvadrat ildizlar kvadrat ildiz tenglamalarini echish kvadrat ildizlar radikal tenglamalarni echish kvadrat ildizlar kvadrat tenglamalarni yechish kvadrat tenglamalarni echish sana davri kvadrat tenglamalarni echish kvadrat ildiz qonuni. Javobga kelishning yana bir usuli bu tenglamaning ikkala tomonini kvadratga solishdir. Kvadrat ildizlar uchun topilgan top 8 ta ish varag'ini javoblar tugmachasi bilan so'zlar muammosi.

Ushbu kontseptsiya uchun topilgan eng yaxshi 8 ta ish jadvalini ko'rsatadigan kvadrat ildiz javobini echish Talabalar tenglamada kvadrat ildizlari va kub ildizlari uchun echilgan sonlarning mukammal kvadrat ildizlari va kub ildizlarini aniqlashda va mukammal kvadrat h bo'lganda x uchun echishni mashq qiladilar. Buni amalga oshirgandan so'ng, keyingi aniq qadam har ikki tomonning kvadrat ildizlarini yechish uchun echishdir.

Kvadrat ildizga javob beradigan javob kalitini echadigan toifadagi eng yaxshi 8 ta ish jadvalini ko'rsatish. E f210 b1z1n 5k ount gae 0s do ffttnwjajrseq dldlec 2 m m ha pl xl c qrhing2hjtws3 rte 2slewrxv 4ezdl. Tenglamaning bir tomoniga boshqa tomonga qilishingiz kerak bo'lgan har bir narsani eslang.

Ushbu kontseptsiyaning ba'zi bir jadvallari kvadrat ildizlarni kvadrat ildiz tenglamalarini echishni, kvadrat ildizlarni radikal tenglamalarni echishni va kvadrat ildizlarni kvadrat tenglamalarni echishni kvadrat tenglamalarni echish sana davrini kvadrat tenglamalarni echishni to'rtburchaklar ildiz qonunining 4-bobi manba ustalari. Ushbu sahifada kvadrat ildizlar uchun faqat 7-sinf yoki to'rtburchak ildizli ishchi varaqlarni va 8-darajali boshqa operatsiyalarni o'z ichiga olgan kvadrat ildizlar uchun bosma nashrlarning cheksiz ta'minotini topasiz. Ushbu kontseptsiya uchun ba'zi ish sahifalar kvadrat ildizlar 1 soddalashtiruvchi kvadrat ildizlar kvadrat ildizlar sana davri kvadratik tenglamalarni echishda kvadrat ildiz qonunlari kvadrat ildizlari va boshqa radikallar 501 matematik so'z muammolari kvadrat ildiz ish kvadratlari va kvadrat ildizlari.

Kvadrat ildizga javob berish uchun javob kalitini echish Variantlarga kvadrat ildizlarni mukammal kvadratchalar bilan chegaralaydigan radikand oralig'i kiradi, faqat shrift o'lchamidagi ish maydoni pdf yoki HTML formatlari va boshqalar. P f im sa fdze e wwuitch4 zi4n ifti3nci otze a zaglygde1bhrda v v2u g worksheet by kuta software llc kuta software cheksiz algebra 2 nomi kvadrat ildiz tenglamalari sana davri.

Kvadratik tenglamalarni kvadrat ildiz usulidan foydalanib hal qilishning asosiy strategiyasi umumiy yondashuv - tenglamaning bir tomonidagi barcha x 2 x2 hadlarni yig'ish, barqarorlarni qarama-qarshi tomonda ushlab turish. X 7 kvadrat ikkala tomoni 2 2 x7 chap va kvadrat ildizi bekor qilinadi. Kvadrat ildiz tenglamalarini echadigan 25 ta rasm algebra 2 javob kaliti.

Talabalarni kvadratchalar va mukammal kublarning kubik ildizlari bilan ishlashini ta'minlash uchun ish varaqalari o'rniga ushbu topshiriq kartalaridan foydalaning.

Rangli qalamdan foydalangan holda talabalarga vertikal shakldagi to'rtburchak ildiz tenglamalari beriladi, ular har bir funktsiyani grafigini chizishadi Matematikadan ta'lim matematikasi

Kvadrat Ildiz kubi Ildiz tenglamalari Grafika radikallarini echish Tenglamalarni echish Tenglama tenglamalari Radikal tenglamalar

Kvadrat ildiz bepul chop etiladigan ish jadvallari matematikaning matematik ish jadvallari algebra ish jadvallari kvadrat ildizlari

Kvadrat tenglamalarni 2020 yilda kvadratik tenglamalarni yoqimli kengayishi va faktorizatsiyasini faktorlash yo'li bilan echish

Javob beriladigan 28 kvadratli ildiz mashqlari Tenglamalarni echish matematikasi matematikasi 2020 yilda algebra bo'yicha jadvallar chiziqli tenglamalarni echish tenglamalarni echish

Polinom tenglamalarini echish sahifasi 2020 yilda T algebra ish jadvalini ko'p sonli tenglamalarni echishning eng yaxshi natijalari kvadratik kvadratikalar

Kuta dasturiy ta'minoti Ko'p bosqichli tenglamalarni echish Matematikadan bepul chop etish uchun ko'p bosqichli tenglamalar Ko'p bosqichli tenglamalardan foydalanish jadvallari

Kvadrat tenglamalarni kvadrat ildizlar bo'yicha yechish Jumboq faoliyati Kvadrat tenglamalarni echish Kvadratik kvadrat tenglama

Http-dan olingan rasm Www Homeschoolmath Net Worksheets 9-sinf Tasvirlar Kvadrat ildizlar Nomukammal kvadratchalar ishchi varaq Gif soddalashtiruvchi radikallar ishchi varaqlar Kvadrat ildizlar

Matematik matematikaga oid yozuvlarni sevish uchun ikki marta kvadratik usulda radikal tenglamalarni echish

Algebra 1 Ishchi varaqlar Radikal ifodalar Ish jadvallar Radikal iboralar soddalashtirish Algebraik iboralar Radikallarni soddalashtirish

Kvadrat ildizlarni soddalashtirish Kvadratik tenglamalarni echish kvadrat shaklidagi ildizlar

Tenglama ish varaqalarini chop etish uchun echish

Matematikadan dars ishlanmalari. Algebra bo'yicha jadvallar

Kvadratik ildizlardan foydalangan holda kvadratikalarni yechish algebra. Kvadratikalarni kvadratik algebra echish

Kvadrat tenglamalarni faktorlash yo'li bilan yechish Uy sahifasi javoblari Uy sharoitida eng yaxshi echimlar Kvadrat tenglamalarni echish Kvadratik kvadrat tenglama

Xan akademiyasi Kvadrat tenglamalarni echish Kvadratikalar Kvadratikalarni echish

Algebra 2 ish jadvallari radikal funktsiyalar ish jadvallar algebra algebra 2 ish sahifalar algebra ish sahifalar

Kvadrat tenglama ildizlari yig'indisi va hosilasi kvadratik kvadratik tenglama ishchi varaqlari


MathHelp.com

Tenglamani echayotganimda, bu tenglamaga yoqqan narsani qila olishimni bilaman agar men ushbu tenglamaning ikkala tomoniga ham xuddi shu narsani qilsam. Ushbu maxsus tenglamaning chap tomonida menda x 2, va men oddiy eski istayman x . Burilish uchun x 2 ga x , Tenglamaning har ikki tomonining kvadrat ildizini quyidagicha olishim mumkin:

Keyin yechim x = & plusmn2, xuddi kvadratlar farqini faktoring yordamida yechganimda bo'lgani kabi.

Nega men 4 ning kvadrat ildizini olganimda 2-dagi & quot & plusmn & quot (ya'ni & quotplus-minus & quot) belgisi kerak edi? Chunki topishga harakat qilaman barchasi asl iborani haqiqatga aylantiradigan o'zgaruvchining qiymatlari va bu musbat 2 yoki manfiy 2 bo'lishi mumkin edi, bu kvadratni asl tenglamada 4 ga etkazdi.

Ushbu ikkilamchi, avvalgi sahifadagi aynan shu tenglamani echish uchun kvadratlar farqi formulasidan foydalanganda, ikkita omilga ega bo'lganimdan biri - & quot; va & quot; va bitta & quotminus & quot; ga o'xshaydi.

& quotTenglamaga yechimni topish & quot; a juda & raqamning kvadrat ildizini baholashdan & quot dan farqli jarayon. Raqamning kvadratik ildizini topganda & quotthe & quot-ni topishda biz faqat ijobiy qiymat bilan ish yuritamiz. Nima uchun? Chunki sonning kvadrat ildizi shunday aniqlanadi. Raqamning kvadrat ildizi qiymati faqat ijobiy bo'lishi mumkin, chunki & quot ning kvotasi kvotasi & quot shunday belgilanadi.

Tenglamani echish, aksincha & mdash, ya'ni o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini topish mumkin edi & mdash tenglamasida ishlash shunchaki ifodani baholashdan farq qiladi allaqachon belgilangan faqat bitta qiymatga ega.

Bu ikkitasini to'g'ri tuting! Kvadrat ildiz raqam faqat bitta qiymatga ega, ammo kvadrat ildizga ega tenglama o'zgaruvchisi tufayli ikkitasi bor.

Matematikada biz ushbu javobga erishish uchun qaysi usulni qo'llaganligimizdan qat'iy nazar bir xil javobni olishimiz kerak. Shunday qilib, yuqoridagi javob bilan oldingi sahifadagi javob bilan taqqoslash, biz kvadrat ildizlarni echishda & quot & plusmn & quot dan foydalanishimiz kerakligini tasdiqlaydi.

(Ikkala tomonning kvadrat ildizini olgan qadamda yuqoridagi ishimda shubhalanayotgan bo'lishingiz mumkin, chunki tenglamaning faqat bir tomoniga & quot & plusmn & quot belgisini qo'yganman. Bu belgini ikkalasi ham Tenglama tomonlari? Xil, ha. Agar men uni tenglamaning ikkala tomoniga qo'yganimda edi, haqiqatan ham biror narsa o'zgargan bo'larmidi? Yo'q. Agar ishonchingiz komil bo'lmasa, barcha holatlarni ko'rib chiqing.)

Kvadrat ildiz otish jarayonining foydasi shundaki, u faqat faktoringdan foydalanishda ilgari hal qila olmagan ba'zi kvadratikalarni echishga imkon beradi. Masalan:

Hal qiling x 2 & ndash 50 = 0.

Ushbu kvadratik kvadrat va sonli qismga ega. Raqamli atamani tenglamaning boshqa tomoniga qo'shishdan boshlayman (shuning uchun kvadrat qismi o'z-o'zidan bo'ladi), so'ngra ikkala tomonni ham ildiz otaman. Kvadrat ildizni soddalashtirishni unutmasligim kerak:


$ Sqrt x + sqrt y = 8 $ va $ sqrt $ echimini toping=15$

oshlash sqrt x + sqrt y = 8 & amp ( sqrt x + sqrt y) ^ 2 = 8 ^ 2 & amp x + 2 sqrt degan ma'noni anglatadi+ y = 64 & amp x + 30 + y = 64 & amp x + y = 34 oxirni bildiradi

oshlash x + y = 34 & amp x-2 sqrt degan ma'noni anglatadi+ y = 34-30 & amp x-2 sqrt degan ma'noni anglatadi+ y = 4 & amp ( sqrt x - sqrt y) ^ 2 = 4 & amp nazarda tutadi sqrt x - sqrt y = pm 2 end

$ left < start sqrt x + sqrt y = 8 sqrt x - sqrt y = 2 end o'ng > degan ma'noni anglatadi chap < boshlash 2 sqrt x = 10 2 sqrt y = 6 end$ right > (x, y) = (25, 9) $ degan ma'noni anglatadi

$ left < start sqrt x + sqrt y = 8 sqrt x - sqrt y = -2 end o'ng > degan ma'noni anglatadi chap < boshlash 2 sqrt x = 6 2 sqrt y = 10 end$ right > (x, y) = (9, 25) $ degan ma'noni anglatadi


Qanday qilish kerak: kvadrat ildizlar ishtirokidagi tenglamalarni echish

Kvadrat ildizlari ishtirokidagi tenglamalarni echish qiyin, chunki kvadrat ildizlari bo'yicha operatsiyalarni bajarishda murakkablik mavjud. Ammo siz ushbu muammolarni osonlikcha hal qilish uchun bir qator amallarni bajarishingiz mumkin. Bunday muammolarni hal qilish uchun avval tenglamaning bir tomonidagi kvadrat ildiz atamasini, ikkinchi tomonidagi kvadrat bo'lmagan ildiz atamalarini ajratib oling. Endi keyingi qadam kvadratida tenglamaning ikkala tomoni. Bu chap tomondagi kvadrat ildizdan xalos bo'ladi va endi tenglamani soddalashtirish mumkin. Agar siz hali ham tenglamada kvadrat ildizlarga ega bo'lsangiz, yana bir va ikkinchi bosqichlarni bajaring. Nihoyat har qanday normal tenglamani echganingizdek tenglamani eching. Ushbu videoda kvadrat ildizlarga oid tenglamalarni qanday echish mumkinligi ko'rsatilgan.

Microsoft Excel dasturini o'zlashtirmoqchimisiz va uy sharoitida ishlash istiqbollarini keyingi bosqichga ko'tarishni xohlaysizmi? Yangi Gadget Hacks Shop-dan Premium A-to-Z Microsoft Excel o'quv to'plamimiz bilan o'z martabangizni boshlang va funktsiyalar, formulalar, vositalar va boshqa ko'p narsalar bo'yicha 40 soatdan ortiq oddiy va kengaytirilgan ko'rsatmalarga umr bo'yi kiring.


1. Yuqoridan ham, pastdan ham ildiz bilan ko'paytiring

Ba'zan biz yuqoridan ham, pastdan ham ildiz bilan ko'paytira olamiz:

Misol: irratsional maxrajga ega. Keling, buni tuzataylik.

Yuqoridan va pastdan kvadratning ildizini 2 ga ko'paytiring, chunki: & radic2 & times & radic2 = 2:

Endi maxrajda ratsional son (= 2) mavjud. Bajarildi!

Izoh: kasrning yuqori qismida (raqamida) mantiqsiz raqam bo'lishi yaxshi.


Umumiy yondashuv - barchani yig'ish barqarorlarni qarama-qarshi tomonga ushlab turganda tenglamaning bir tomonidagi atamalar. Buni amalga oshirgandan so'ng, keyingi ravshan qadam har ikkala tomonning kvadrat ildizlarini x qiymatini olish uchun olishdir. Doimiy kvadratning ildizini olganingizda doimo pm belgisini qo'ying.

Kvadrat tenglamalarni to'rtburchak ildiz usuli bilan qanday echish mumkinligi misollari

1-misol: Quyidagi kvadrat tenglamani kvadrat ildiz usuli yordamida eching.

Men faqat izolyatsiya qilaman Ikkala tomonni + 1 ga qo'shib chap tomonda termin. Keyin tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizlarini olib, x qiymatlarini eching. Avval aytib o'tganimdek, biz doimiyning kvadrat ildiziga ortiqcha yoki minus belgisini biriktirishimiz kerak.

Shunday qilib, menda x = 5 va x = - , 5 bor yakuniy javoblar chunki bu ikkala qiymat ham asl kvadratik tenglamani qondiradi. Tasdiqlash uchun uni sizga qoldiraman.

2-misol: Quyidagi kvadrat tenglamani kvadrat ildiz usuli yordamida eching.

Ushbu muammo oldingi misolga juda o'xshash. Faqatgina farq shundaki, men ajratganimdan keyin atama va tenglamaning qarama-qarshi tomonlaridagi doimiy, men har ikki tomonning kvadrat ildizlarini olishdan oldin tenglamani kvadratik hadning koeffitsientiga bo'lishim kerak.

The yakuniy javoblar x = 4 va x = - , 4 ga teng.

3-misol: Quyidagi kvadrat tenglamani kvadrat ildiz usuli yordamida eching.

Menda ikkitasi borligini ko'rishim mumkin atamalar, tenglamaning har ikki tomonida bittadan. Mening yondashuvim shuki, $ x $ ning barcha kvadratik shartlarini chap tomonga to'plang va barcha konstantalarni o'ng tomonga birlashtiring. Keyin odatdagidek x uchun eching, xuddi 1 va 2 misollarda bo'lgani kabi.

Ushbu kvadratik formulaning echimlari x = 3 va x = - , 3.

4-misol: Quyidagi kvadrat tenglamani kvadrat ildiz usuli yordamida eching.

Ikki qavs sizni umuman bezovta qilmasligi kerak. Haqiqat shundaki, barcha o'zgaruvchilar kvadrat shaklida bo'ladi, biz xohlagan narsa. Ushbu muammo kvadrat ildiz usuli yordamida mukammal echim topadi.

Shunday qilib, mening birinchi qadamim ko'paytmaning taqsimlovchi xususiyatini qo'llash orqali ikkala qavsni ham yo'q qilishdir. Ular yo'q bo'lib ketgach, men osongina atamalar singari birlasha olaman. Tuting shartlar chapga, doimiylar esa o'ngga. Va nihoyat, ikkala tomonga ham kvadrat ildiz amalini qo'llang va biz bajaramiz!

5-misol: Quyidagi kvadrat tenglamani kvadrat ildiz usuli yordamida eching.

X -term ikkinchi darajaga ikki marta ko'tarilganligi sababli, x ni echish uchun ikkita kvadrat ildiz operatsiyasini bajarishim kerak.

Birinchi qadam quyidagicha bo'lishi kerak: () 2 = doimiy . Bu menga kvadrat ildizlarning birinchi qo'llanilishida qavs ko'rsatkichidan xalos bo'lishga imkon beradi.

Buni amalga oshirgandan so'ng, qavs ichida joylashgan & # 8220stuff & # 8221 qoladi muddat. Xo'sh, bu juda yaxshi, chunki men buni avvalgi misollar singari qanday boshqarishni bilaman.

Kvadrat ildizning birinchi qo'llanilishidan keyin x-kvadratik atama qoldi & # 8217.

Endi biz ajralishimiz kerak = pm , 6 + 10 ikkita holatda, chunki & # 8220plus & # 8221 yoki & # 8220minus & # 8221.

Ushbu kvadrat tenglamalarning echimlari x = 4, x = - , 4, x = 2 va x = - , 2. Ha, bizda dastlabki kvadrat tenglamani qondira oladigan x ning to'rtta qiymati bor.

6-misol: Quyidagi kvadrat tenglamani kvadrat ildiz usuli yordamida eching.

7-misol: Quyidagi kvadrat tenglamani kvadrat ildiz usuli yordamida eching.


9.6: Kvadrat ildizli tenglamalarni echish - Matematika

Kvadrat ildizli tenglamalar. Sinov ba'zida kvadrat ildizni o'z ichiga olgan yechim uchun tenglama beradi. Bunday tenglamada o'zgaruvchi radikal ostida paydo bo'ladi. Masalan, bu kvadrat ildizlari bo'lgan tenglama bo'ladi. X plyus 3 ning kvadrat ildizi x minus 3 ga teng. Buni videodan keyin hal qilamiz.

In, demak bu biz ushbu darsda gaplashadigan tenglama turi. Shubhasiz, biz kvadrat ildizni kvadratchalar yordamida echib tashlaymiz va har doim ikkala tomonni ham kvadratga solishimiz mumkin. Ba'zan, eng sodda radikal tenglamalar uchun biz faqat ikki tomonni kvadrat qilishimiz kerak. Masalan, agar bizda shunga o'xshash narsa bo'lsa, x plyus 2 ning kvadrat ildizi 3 ga teng.

Xo'sh, ikkala tomonni ham kvadratga aylantiring, chapda x plus 2, o'ngda 9 chiqadi, ayirib, x ga teng bo'ladi 7. Fantastik. Ammo, bu tenglama testda paydo bo'lish uchun juda oddiy edi. Sinov aslida biz kabi kumush likobchada oddiy narsalarni qo'lga kiritmaydi, bu biroz hiyla-nayrangga aylanadi.

Davom etishimizdan oldin, bu haqda o'ylab ko'raylik. $ K $ ning har qanday qiymati uchun $ k $ kvadratik kvadratini olsak $ k $ ga qaytishimiz har doim ham to'g'rimi? Ya'ni kvadrat ildiz kvadratni bekor qiladi va bizni har doim boshlagan joyimizga olib boradi. Bu har doim ham haqiqatmi?

Va, albatta, javob yo'q. Tenglama musbat sonlar uchun va 0 ga to'g'ri keladi, ammo k ning salbiy qiymatlari uchun emas. Masalan, agar k manfiy 4 ga teng bo'lsa, demak, biz uni kvadratga aylantirganimizda musbat 16 bo'ladi. Salbiy to'rtburchak musbat 16 ga teng.

Va 16 ning ildizini olsak, biz 4 ni olamiz. Boshqacha aytganda, biz asl boshlang'ich raqamiga qaytmaymiz. Shunday qilib, bu muhim. Bu salbiy qadriyatlar paydo bo'lganda biz ba'zi bir muammolarga duch kelishimiz mumkinligini ko'rsatadi. Demak, bu bizning radarimizda. Biz salbiy qadriyatlarni olsak, xususan, radikal ostidagi narsa salbiy bo'lsa, nima bo'ladi?

Biz bunga e'tibor qaratishimiz kerak. Ma'lum bo'lishicha, radikal tenglamalarda biz begona ildizlardan xabardor bo'lishimiz kerak. Agar biz barcha algebralarni to'g'ri bajargan bo'lsak, tenglamaning ikkala tomonini ham kvadratlarga tenglashtirsak, algebra asl tenglamada ishlamaydigan javoblarga olib kelishi mumkin. Bu begona ildizlar.

So I want to emphasize, this is not about making a mistake, in other words, even if we do all the algebra correctly, just by virtue of the fact that we square, we produce extra roots, extraneous roots that are not ones that actually solve the original equation. It's important to understand, extraneous roots will arise in a radical equation even if you do all the algebra correctly.

Now we can look at the, the equation we had at the beginning. So, here's the equation from the beginning. So of course, what we'll do, is we'll square both sides. Of course that, that binomial squared on the right side we, we, we foil that out to x squared minus 6x plus 9. You may remember the pattern for the square of a difference.

Then we'll gather everything on one side, so we get a quadratic equal to 0. We'll factor that, it's very easy to factor, and we get two roots, 1 and 6. Now normally with algebra, you'd think okay, we must be done, we found the value of X. But with radical equations, we have to be careful. Do we know that both of these roots work?

Maybe they both do, or maybe one of them is an extraneous root. So we have to check our answers. We have to check each answer we found to make sure they worked, because right, now just looking at them 1 and 6, we don't know. Are those both true roots, are they both extraneous roots? Do they work in the original equation?

The only way we find is by plugging them in. So, here's the original equation. Here are the roots that we found from the algebra. So first of all we're going to check the first one, x equals 1. Plug it into the left side, we get square root of 1 plus 3 square root 4 which is 2. Plug it in to the right side, we get 1 minus 3 which is negative 2.

So the two sides of the equation are not equal. One side equals 2, one side equals negative 2. So this root doesn't work. Now, we'll check the other one. Plug it in to the left side, we get square root of 6 plus 3, of course that's 9. Square root of 9 is 3.

On the other side we get, 6 minus 3, which is also 3. The two sides work, so that one does legitimately work. And it does solved the problem. So, this equation has one solution that works, x equals 6. That is the only solution that works. X equals is an extraneous root, because even though we followed the algebra correctly, and even though the algebra gave us that root, that root does not actually work in the original equation.

We need to square both sides to undo the radical, but this very act can produce extraneous roots. If we get a quadratic after squaring, which is common on the test, the algebra will lead to two roots. Sometimes both roots work. Sometimes one root works, and one is extraneous.

Sometimes both are extraneous, and the equation has no solution. So, here's a practice problem. Pause the video, and then we'll talk about this. Okay. So, here we have a radical on both sides.

Radical equals radical. So of course, we're just gonna square both sides. We get 2x minus 2 equals x minus 4. Well, very easy equation to solve. And we get x equals negative 2. All right, very good.

But now, what happens here if we plug this back into the original equation? When we plug this in, this results in the square root of a negative on both sides. So, we get the square root of negative 6, and square root of negative 6 is something outside the real number system, it does not live anywhere on the number line. So we can't do math with that. That is just, for our purposes, that is just an error and this equation has no solution.

Finally, keep in mind that we should square both sides only when the radical is by itself on one side of the equation. If the radical appears on, with other terms on one side, we will have to isolate the radical on one side, before it would make sense to square both sides. So, here's a practice problem video, and then we'll talk about this.

Okay, so we do not have the radical by itself. So the very first thing we have to do, is subtract that 2 from both sides. So we get the radical, 4 minus 3x equals x minus 2. Now we can square both sides. And of course, we get the square of the difference.

The square of that binomial. And that expands out to x squared minus 4x plus 4. Now, we're gonna subtract 4 from both sides, and add 3X to both sides and this will lead us to x squared minus x. Very easy to factor that, that factors to x times x minus 1. And the algebra leads us to the solutions x equals 0 and x equals 1.

Now we need to check these answers. Okay. So those are the roots that the algebra found for us. First of all, check x equals 0. Plug this into the left side, and what we get is 2 plus root 4, which is 2 plus 2, which is 4.

Plug it into the right side, it's 0. And of course, 4 does not equal 0. So this one does not work. So this would be an extraneous root. Now check x equals 1. Plug this into the left side, we get 2 plus 4 minus 3 times 1, so 4 minus 3.

And of course, that would be 1. And so, that's gonna be 2 plus 1 which is 3. And of course, this does not equal 1. Does not equal the x, which is 1 on the other side of the equation. So this one doesn't work either. And so, neither one of the roots that the algebra gave us works.

So this equation simply has no solution. Both the solutions that the algebra gave, were extraneous roots. In summary, to undo a radical equation, we need to square both sides. We have to mo, move something else to the other side sometimes, to isolate the radical before squaring. In other words, we need the radical by itself.

So there are other terms on that side with the radical. We need to get rid of them, move them to the other side before we can square. And the very act of squaring produces extraneous roots, therefore, we must check each answer the algebra gives us back in the original equation.

Frequently Asked Questions

Q: In the equation √(x +3) = x – 3, why isn’t x = 1 a valid solution? After all, isn't the square root of 4 also negative 2?

A: This is a very common issue for students preparing for the GRE. Let's talk about it :)

Generally, a square root question will have two solutions, one positive and one negative. For instance, the square root of 4 is 2 and -2.

On the GRE, if the "√" symbol appears as part of the question, we can only use the ijobiy answer of the square root.

Ammo if the "√" symbol is NOT part of the question, then both the negative and positive roots of a square root can be used.

The radical sign (more commonly known as the square root sign) actually means the POSITIVE square root of a given number. This positive square root is often referred to as the principal square root. Anytime we see the radical sign on the GRE, we want the principal (positive) square root.

Also check out this blog on square roots. We go into detail regarding when you do and do not consider the negative values in questions like these.

Q: For the first practice problem, how come having a square root of a negative number on each side of the equation results in no solution?

A: In the lesson video Square Roots, Mike talks about trying to take the square root of a negative number. He specifically says the following:

Can we take the square root of a negative? No. Nothing on the number line can be squared to yield a negative number. Now, as it turns out, there are higher forms of mathematics where they talk about square roots of a negative number, and that's called imaginary numbers.

You do not need to worry about this for the test. That is absolutely beyond anything that is on the test.

And according to ETS’s Mathematical Conventions document, “all numbers used in the test questions are real numbers. In particular, integers and both rational and irrational numbers are to be considered, but imaginary numbers are not.”

Thus, for the first practice problem, we end up with no solution because when we plug in the value of -2 for x, we end up with imaginary numbers on both sides of the equation. And, on the GRE, we can’t do math with that. Thus, for our purposes, that is just an error, and this equation has no solution.

Q: For the second practice problem, how did we get x= 0 and x=1 from 0 = x^2 - x?

A: Our first step is to simplify the expression above to:

In order to solve for the different values of x from here, we can consider the two expressions of x separately. In other words:

To see why we can do this, it's key to keep in mind that any number multiplied by 0 is equal to 0. Yes, that's a pretty basic fact, but applied in equations like this, it is important to keep in mind!

As we can see, x=0 satisfies the original equation, which says that the product of the two expression equals 0. Likewise, when x-1 = 0, we can write,

Therefore, x-1 = 0 also satisfies the original equation. Solving for x, we get x=1.

Based on this method, our two solutions are: x=0 and x=1.

Q: Should we always check for extraneous roots whenever we solve an algebraic equation?

A: Good question! There are only two times you'll have to worry about extraneous roots on the GRE:

  1. When you have a variable under a radical
  2. When you have a variable within an absolute value

In quadratic equations without radicals, you don't need to worry about extraneous roots :)


Videoni tomosha qiling: Siz Tenglama Yechishda 1-lik bolasiz. Kvadrat Tenglama 7 usulda. Qiziqarli Matematika.57-video (Dekabr 2021).