Maqolalar

Divergensiya teoremasi - matematika


O'quv maqsadlari

  • Divergensiya teoremasining ma'nosini tushuntiring.
  • Vektor maydonining oqimini hisoblash uchun divergentsiya teoremasidan foydalaning.
  • Elektrostatik maydonga divergentsiya teoremasini qo'llang.

Biz hisoblashning asosiy teoremasining yuqori o'lchamdagi bir nechta versiyasini ko'rib chiqdik, ular domenning yo'naltirilgan chegarasi atrofidagi integralni ushbu ob'ektning yo'naltirilgan domendagi "hosilasi" bilan bog'laydi. Ushbu bo'limda biz divergentsiya teoremasini bayon qilamiz, bu biz o'rganadigan ushbu turdagi so'nggi teorema. Divergensiya teoremasi fizikada juda ko'p qo'llaniladi; xususan, divergentsiya teoremasi qisman differentsial tenglamalar sohasida issiqlik oqimi va massaning saqlanishini modellashtirish tenglamalarini chiqarish uchun ishlatiladi. Biz oqim integrallarini hisoblash va uni elektrostatik maydonlarga qo'llash uchun teoremadan foydalanamiz.

Teoremalarga umumiy nuqtai

Ajralish teoremasini o'rganishdan oldin, biz muhokama qilgan "Asosiy hisoblash teoremasi" versiyalari haqida umumiy ma'lumot berishdan boshlash foydalidir:

  1. Hisoblashning asosiy teoremasi: [ int_a ^ bf '(x) , dx = f (b) - f (a). ] Ushbu teorema hosilaning (f' ) integralning chiziqli segmentiga [a, b] ) (x ) - o'qi bo'ylab chegara bo'yicha baholangan (f ) farqiga qadar.
  2. Chiziqli integrallar uchun asosiy teorema: [ int_C vecs nabla f cdot d vecs r = f (P_1) - f (P_0), ] bu erda (P_0 ) (C ) ning boshlang'ich nuqtasi. ) va (P_1 ) - (C ) ning terminal nuqtasi. Line Integrals uchun fundamental teorema (C ) yo'lning (x ) - o'qidagi chiziq bo'lagi emas, balki tekislikdagi yoki kosmosdagi yo'l bo'lishiga imkon beradi. Agar biz gradientni hosila deb hisoblasak, u holda bu teorema ( nabla f ) (C ) yo'lidagi hosilaning integralini (C ) chegarasida baholangan (f ) farqiga bog'laydi. ).
  3. Grinning teoremasi, aylanish shakli: [ iint_D (Q_x - P_y) , dA = int_C vecs F cdot d vecs r. ] Chunki (Q_x - P_y = text {curl} vecs F cdot mathbf { hat k} ) va curl sortlarning hosilasi, Grin teoremasi bukiluvchi curl ( vecs F ) ning tekislik mintaqasi (D ) ning integralini ( vecs F ) ning integraliga bog'laydi. (D ) chegarasi bo'ylab.
  4. Grinning teoremasi, oqim shakli: [ iint_D (P_x + Q_y) , dA = int_C vecs F cdot vecs N , dS. ] Chunki (P_x + Q_y = text {div} vecs F ) va divergensiya - bu turlarning hosilasi, Grin teoremasining oqim shakli div ( vecs F ) hosilasini integral tekislik (D ) ning integralini ( vecs F ) ning ustidagi integraliga bog'laydi. (D ) chegarasi.
  5. Stoks teoremasi: [ iint_S curl , vecs F cdot d vecs S = int_C vecs F cdot d vecs r. ] Agar biz kıvrılmayı sortlarning hosilasi deb hisoblasak, u holda Stoks ' teorema hosilaning burmasi ( vecs F ) ning sirtiga (S ) (tekislik shart emas) (S ) chegarasi bo'ylab ( vecs F ) ning integraliga bog'laydi.

Ajralish teoremasini bayon qilish

Divergensiya teoremasi ushbu boshqa teoremalarning umumiy sxemasiga amal qiladi. Agar biz divergentsiyani turlarning hosilasi deb hisoblasak, u holda divergentsiya teoremasi qattiq jismning div ( vecs F ) hosil bo'lishining uchlik integralini ( vecs F ) ning qattiq qism chegarasidagi oqim integraliga bog'laydi. . Aniqroq aytganda, divergensiya teoremasi ( vecs F ) vektor maydonining yopiq sirt (S ) ustidagi oqim integralini ( vecs F ) ning qattiq bilan yopilgan qattiqlik bo'yicha uchlik integraliga bog'laydi. (S ).

Ajralish teoremasi

(S ) kosmosdagi qattiq (E ) ni o'rab turgan qismli, silliq yopiq sirt bo'lsin. (S ) tashqi tomonga yo'naltirilgan deb taxmin qiling va ( vecs F ) vektorli maydon bo'lsin, u o'z ichiga ochiq mintaqada (E ) o'z ichiga olgan uzluksiz qisman hosilalari bilan chiqsin (Shakl ( PageIndex {1} )) . Keyin

[ iiint_E text {div} vecs F , dV = iint_S vecs F cdot d vecs S. label {divtheorem} ]

Eslatib o'tamiz, Grin teoremasining oqim shakli buni ta'kidlaydi

[ iint_D text {div} vecs F , dA = int_C vecs F cdot vecs N , dS. ]

Shuning uchun, divergensiya teoremasi - bu Grin teoremasining bir yuqori o'lchovdagi versiyasidir.

Ajralish teoremasining isboti ushbu matn doirasidan tashqarida. Biroq, biz teorema nima uchun haqiqat ekanligi haqida umumiy fikr beradigan norasmiy dalilni ko'rib chiqamiz, ammo teoremani to'liq qat'iylik bilan isbotlamaymiz. Ushbu tushuntirish nima uchun Stoks teoremasi haqiqat ekanligi uchun berilgan norasmiy tushuntirishdan keyin amalga oshiriladi.

Isbot

(B ) tomonlari koordinata tekisliklariga parallel bo'lgan ( E ) kichik quti bo'lsin (Shakl ( PageIndex {2a} )). (B ) ning markazi ((x, y, z) ) koordinatalariga ega bo'lsin va chekka uzunliklari ( Delta x, , Delta y ) va ( Delta z ) . (Shakl ( PageIndex {1b} )). Qutining yuqori qismidan normal vektor ( mathbf { hat k} ) va qutining pastki qismidan normal vektor (- mathbf { hat k} ). ( Mathbf { hat k} ) bilan ( vecs F = Langle, P, Q, R rangle ) ning nuqta ko'paytmasi (R ) va (- mathbf {bilan nuqta hosilasi hat k} ) $ (- R ) dir. ( Delta S ) quti yuqori qismining maydoni ( Delta x Delta y ).

Qutining yuqori qismidagi oqim taxminan (R chap (x, , y, , z + frac { Delta z} {2} o'ng) , Delta x , Delta y ) (Shakl ( PageIndex {2c} )) va qutining pastki qismidagi oqim (- R chap (x, , y, , z - frac { Delta z } {2} o'ng) , Delta x , Delta y ). Agar biz ushbu qiymatlar orasidagi farqni ( Delta R ) deb belgilasak, u holda vertikal yo'nalishdagi aniq oqimni ( Delta R , Delta x , Delta y ) bilan yaqinlashtirish mumkin. Biroq,

[ Delta R , Delta x , Delta y = chap ( frac { Delta R} { Delta z} o'ng) , Delta x , Delta y Delta z taxminan chapga ( frac { kısmi R} { qisman z} o'ng) , Delta V. nonumber ]

Shuning uchun vertikal yo'nalishdagi aniq oqimni ( chap ( frac { qisman R} { qismli z} o'ng) Delta V ) bilan yaqinlashtirish mumkin. Xuddi shunday, (x ) - yo'nalishdagi aniq oqim ( chap ( frac { qisman P} { qisman x} o'ng) , Delta V ) va yaqin oqim bilan yaqinlashishi mumkin. (y ) - yo'nalishni ( chap ( frac { qisman Q} { qisman y} o'ng) , Delta V ) bilan yaqinlashtirish mumkin. Barcha uchta yo'nalishda oqimlarni qo'shish qutidagi umumiy oqimning taxminiy sonini beradi:

[ text {Umumiy oqim} taxminan chap ( frac { qisman P} { qisman x} + frac { qisman Q} { qisman y} + frac { qisman R} { qism z } o'ng) Delta V = text {div} vecs F , Delta V. nonumber ]

Ushbu yaqinlashish o'zboshimchalik bilan umumiy oqim qiymatiga yaqinlashadi, chunki quti hajmi nolga kamayadi.

( Text {div} vecs F , Delta V ) ning (E ) ga yaqinlashadigan barcha kichik kataklardagi yig'indisi taxminan ( iiint_E text {div} vecs F , dV ) ga teng . Boshqa tomondan, ( text {div} vecs F , Delta V ) ning (E ) yaqinlashayotgan barcha kichik qutilaridagi yig'indisi bu barcha qutilar ustidagi oqimlarning yig'indisidir. Xuddi Stoks teoremasining norasmiy isbotida bo'lgani kabi, bu oqimlarni barcha katakchalarga qo'shib qo'yish juda ko'p shartlarning bekor qilinishiga olib keladi. Agar taxminiy quti yuzni boshqa taxminiy quti bilan bo'lishsa, u holda bir yuz ustidagi oqim, qo'shni qutining umumiy yuzidagi oqimning salbiy hisoblanadi. Ushbu ikkita integral bekor qilinadi. Barcha oqimlarni qo'shganda, faqatgina ((E ) chegarasiga yaqinlashgan yuzlar ustidagi integrallar tirik qoladi). Taxminiy qutilar hajmi nolga qisqarganligi sababli, bu taxmin o'zboshimchalik bilan (S ) oqimiga yaqinlashadi.

( Box )

Misol ( PageIndex {1} ): Ajralish teoremasini tekshirish

( Vecs F = langle x - y, , x + z, , z - y rangle ) vektor maydoni va konus (x ^ 2) dan iborat (S ) sirt uchun divergensiya teoremasini tasdiqlang. + y ^ 2 = z ^ 2, , 0 leq z leq 1 ) va konusning dumaloq tepasi (quyidagi rasmga qarang). Ushbu sirt ijobiy yo'naltirilgan deb taxmin qiling.

Qaror

(E ) (S ) bilan yopilgan qattiq konus bo'lsin. Ushbu misol uchun teoremani tekshirish uchun biz buni ko'rsatamiz

[ iiint_E text {div} vecs F , dV = iint_S vecs F cdot d vecs S nonumber ]

har bir integralni alohida hisoblash orqali.

Uchlik integralni hisoblash uchun ( text {div} vecs F = P_x + Q_y + R_z = 2 ) ekanligini va shuning uchun uchli integralning

[ begin {align *} iiint_E text {div} vecs F , dV & = 2 iiint_E dV [4pt] & = 2 , (hajm , of , E). end {align *} ]

To'g'ri dumaloq konusning hajmi ( pi r ^ 2 frac {h} {3} ) bilan berilgan. Bunday holda, (h = r = 1 ). Shuning uchun,

[ iiint_E text {div} vecs F , dV = 2 , (volume , of , E) = frac {2 pi} {3}. nonumber ]

Oqim integralini hisoblash uchun avval (S ) qismli silliq ekanligiga e'tibor bering; (S ) tekis sirtlarning birlashishi sifatida yozilishi mumkin. Shuning uchun biz oqim integralini ikkita qismga ajratamiz: konusning dumaloq ustki qismida bitta oqim integrali va konusning qolgan qismida bitta oqim integrali. Dumaloq tepaga (S_1 ) va yuqoridagi qismga (S_2 ) qo'ng'iroq qiling. Biz konusning dumaloq ustki qismida oqimni hisoblash bilan boshlaymiz. (S_1 ) parametrlash xususiyatiga ega ekanligiga e'tibor bering

[ vecs r (u, v) = u burchak, cos v, , u , sin v, , 1 rangle, , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2 pi. nonumber ]

Tangens vektorlari ( vecs t_u = langle cos v, , sin v, , 0 rangle ) va ( vecs t_v = langle -u , sin v, , u , cos v, 0 rangle ). Shuning uchun, (S_1 ) bo'ylab oqim

[ begin {align *} iint_ {S_1} vecs F cdot d vecs S & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} vecs F ( vecs r (u, v))) cdot ( vecs t_u times vecs t_v) , dA [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} langle u , cos v - u , sin v, , u , cos v + 1, , 1 - u , sin v rangle cdot langle 0,0, u rangle , dv , du [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} u - u ^ 2 sin v , dv du [4pt] & = pi. end {align *} ]

Endi biz oqimni hisoblaymiz (S_2 ). Ushbu sirtning parametrlanishi

[ vecs r (u, v) = u burchak, cos v, , u , sin v, , u rangle, , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2 pi. nonumber ]

Tangens vektorlari ( vecs t_u = langle cos v, , sin v, , 1 rangle ) va ( vecs t_v = langle -u , sin v, , u , cos v, 0 rangle ), shuning uchun o'zaro faoliyat mahsulot

[ vecs t_u times vecs t_v = langle - u , cos v, , -u , sin v, , u rangle. nonumber ]

(X ) va (y ) komponentlaridagi salbiy belgilar konusning salbiy (yoki ichkariga) yo'nalishini keltirib chiqarayotganiga e'tibor bering. Sirt ijobiy yo'naltirilganligi uchun biz oqimda ( vecs t_v times vecs t_u = langle u , cos v, , u , sin v, , -u rangle ) vektoridan foydalanamiz. ajralmas. (S_2 ) bo'ylab oqim keyin bo'ladi

[ begin {align *} iint_ {S_2} vecs F cdot d vecs S & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} vecs F ( vecs r (u, v))) cdot ( vecs t_u times vecs t_v) , dA [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} langle u , cos v - u , sin v, , u , cos v + u, , u , - u sin v rangle cdot langle u , cos v, , u , sin v, , -u rangle , dv , du [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} u ^ 2 cos ^ 2 v + 2u ^ 2 sin v - u ^ 2 , dv , du [4pt] & = - frac { pi} {3} end {align *} ]

(S ) bo'ylab umumiy oqim

[ iint_ {S} vecs F cdot d vecs S = iint_ {S_1} vecs F cdot d vecs S + iint_ {S_2} vecs F cdot d vecs S = frac { 2 pi} {3} = iiint_E text {div} vecs F , dV, nonumber ]

va biz ushbu misol uchun kelishmovchilik teoremasini tasdiqladik.

( PageIndex {1} ) mashqlari

( Vecs F (x, y, z) = langle x + y + z, , y, , 2x - y rangle ) vektor maydoni va (S ) sirt uchun divergensiya teoremasini tasdiqlang. silindr (x ^ 2 + y ^ 2 = 1, , 0 leq z leq 3 ) plyus silindrning yuqori va pastki qismining aylana shaklida. (S ) ijobiy yo'naltirilgan deb taxmin qiling.

Maslahat

Ikkala oqim integralini ham, uch karrali integralni ham divergentsiya teoremasi bilan hisoblang va ularning tengligini tekshiring.

Javob

Ikkala integral (6 pi ) ga teng.

( Vecs F ) uzluksiz maydonning (P ) nuqtadagi divergensiyasi maydonning "P " darajadagi "chiqib ketish nessasi" o'lchovidir. Agar ( vecs F ) suyuqlikning tezlik maydonini ifodalasa, u holda divergentsiyani suyuqlikning bir birlik hajmiga nisbati oqib chiqadigan birlik hajmining tezligidan kamroq deb hisoblash mumkin. Divergentsiya teoremasi bu talqinni tasdiqlaydi. Buni ko'rish uchun (P ) nuqta, (B _ { tau} ) esa (R ) markazida joylashgan kichik radiusli (r ) to'p bo'lsin (Shakl ( PageIndex {3) } )). (S _ { tau} ) (B _ { tau} ) ning chegara sferasi bo'lsin. Radiusi kichik va ( vecs F ) uzluksiz bo'lgani uchun, ( text {div} vecs F (Q) approx text {div} vecs F (P) ) boshqa barcha nuqtalar uchun ( To'pda Q ). Shuning uchun, divergentsiya teoremasi yordamida (S _ { tau} ) bo'ylab oqimni yaqinlashtirish mumkin:

( PageIndex {2} ) mashqlari

Oqim integralini hisoblash uchun divergentsiya teoremasidan foydalaning [ iint_S vecs F cdot d vecs S, nonumber ] bu erda (S ) - (0 leq x leq 2, berilgan qutining chegarasi, , 0 leq y leq 4, , 0 leq z leq 1 ) va ( vecs F = langle x ^ 2 + yz, , y - z, , 2x + 2y + 2z rangle ) (quyidagi rasmga qarang).

Maslahat

Tegishli uchli integralni hisoblang.

Javob

40

Misol ( PageIndex {3} ): Divergensiya teoremasini qo'llash

( Vecs v = left langle - frac {y} {z}, , frac {x} {z}, , 0 right rangle ) suyuqlikning tezligi maydoni bo'lsin. (C ) (1 leq x leq 4, , 2 leq y leq 5, , 1 leq z leq 4 ) tomonidan berilgan qattiq kub bo'lsin va (S ) ushbu kubning chegarasi bo'ling (quyidagi rasmga qarang). (S ) bo'yicha suyuqlikning oqim tezligini toping.

Qaror

Suyuqlikning (S ) bo'ylab oqimi ( iint_S vecs v cdot d vecs S ). Ushbu oqim integralini hisoblashdan oldin, integralning qiymati qanday bo'lishi kerakligini muhokama qilaylik. ( PageIndex {4} ) -rasmga asoslanib, agar biz ushbu kubni suyuqlikka joylashtirsak (kub kelib chiqishini o'z ichiga olmasa), u holda kubga tushadigan suyuqlik tezligi bir xil bo'ladi. kubdan chiqadigan suyuqlik tezligi. Maydon aylanma xarakterga ega va markazida joylashgan (xy ) - tekislikka parallel berilgan berilgan aylana uchun. z-aksis, u doiradagi vektorlarning barchasi bir xil kattalikda. Shunday qilib, oqim tezligi kubga kirish va chiqish bilan bir xil ekanligini ko'rishimiz mumkin. Kubga tushadigan oqim kubdan chiqadigan oqim bilan bekor qilinadi va shu sababli suyuqlikning kub bo'yicha oqimi nolga teng bo'lishi kerak.

Ushbu sezgini tekshirish uchun biz oqim integralini hisoblashimiz kerak. Oqim integralini hisoblash to'g'ridan-to'g'ri oqim integralini kubning har bir yuzi uchun oltita alohida oqim integraliga bo'lishni talab qiladi. Shuningdek, biz teginuvchi vektorlarni topishimiz, ularning o'zaro bog'liqligini hisoblashimiz kerak. Biroq, divergentsiya teoremasidan foydalanib, bu hisob tezroq ketadi:

[ begin {align *} iint_S vecs v cdot d vecs S & = iiint_C text {div} vecs v , dV [4pt]
& = iiint_C 0 , dV = 0. end {align *} ]

Shuning uchun oqim kutilganidek nolga teng.

( PageIndex {3} ) mashqlari

( Vecs v = left langle frac {x} {z}, , frac {y} {z}, , 0 right rangle ) suyuqlikning tezligi maydoni bo'lsin. (S ) bo'ylab suyuqlikning oqim tezligini toping.

Maslahat

Ajralish teoremasidan foydalaning va uch karrali integralni hisoblang

Javob

(9 , ln (16) )

Misol, divergentsiya teoremasining ajoyib natijalarini tasvirlaydi. (S ) bo'lakcha, silliq yopiq sirt bo'lsin va ( vecs F ) vektorli maydon bo'lsin, u sirtini o'z ichiga olgan (S ) bilan yopilgan. Agar ( vecs F ) (F = burchakli f (y, z), , g (x, z), , h (x, y) rangle ) shakliga ega bo'lsa, u holda divergentsiya ( vecs F ) nolga teng. Divergentsiya teoremasi bo'yicha ( vecs F ) ning (S ) bo'ylab oqimi ham nolga teng. Bu ma'lum oqim integrallarini hisoblashni nihoyatda osonlashtiradi. Masalan, biz oqimning integralini hisoblamoqchimiz deylik ( iint_S vecs F cdot d vecs S ), bu erda (S ) kub va

[ vecs F = langle sin (y) , e ^ {yz}, , x ^ 2z ^ 2, , cos (xy) , e ^ { sin x} rangle. ]

Oqimning integralini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash biz ilgari o'rgangan usullardan foydalangan holda qiyin, hatto imkonsiz bo'ladi. Hech bo'lmaganda, biz oqim integralini kubning har bir yuzi uchun bitta oltita integralga bo'lishimiz kerak edi. Ammo, bu maydonning divergensiyasi nolga teng bo'lganligi sababli, divergentsiya teoremasi darhol oqim integralining nolga tengligini ko'rsatadi.

Endi divergentsiya teoremasidan foydalanib, ilgari muhokama qilgan divergentsiyaning fizikaviy talqinini asoslashimiz mumkin. Eslatib o'tamiz, agar ( vecs F ) uzluksiz uch o'lchovli vektorli maydon bo'lsa va (P ) ( vecs F ) domenidagi nuqta bo'lsa, u holda ( vecs F ) ning divergentsiyasi. $ (P ) $ ( vecs F ) $ (P ) $ ning "chiqib ketishi" o'lchovidir. Agar ( vecs F ) suyuqlikning tezlik maydonini ifodalasa, u holda ( vecs F ) ning (P ) dagi divergensiyasi (P ) nuqtadan tashqariga chiqadigan oqim oqimining o'lchovidir. (P ) dan suyuqlik oqimi (P )) gacha bo'lgan suyuqlik oqimini kamaytiradi. Divergensiya teoremasi ushbu talqinni qanday asoslashini ko'rish uchun (B _ { tau} ) juda kichik radiusli to'p bo'lsin. r markazi bilan (P ) va (B _ { tau} ) ( vecs F ) domenida deb taxmin qiling. Bundan tashqari, (B _ { tau} ) ijobiy, tashqi yo'nalishga ega deb taxmin qiling. (B _ { tau} ) ning radiusi kichik va ( vecs F ) uzluksiz bo'lgani uchun ( vecs F ) ning divergentsiyasi (B _ { tau} ) da taxminan doimiy bo'ladi. Ya'ni, ifv (P ') (B _ { tau} ) ning istalgan nuqtasi bo'lsa, u holda ( text {div} vecs F (P) approx text {div} vecs F (P) ') ). (S _ { tau} ) ning (B _ { tau} ) chegara sohasini belgilasin. Divergentsiya teoremasi yordamida (S _ { tau} ) oqimini quyidagicha taxmin qilishimiz mumkin:

[ begin {align *} iint_ {S _ { tau}} vecs F cdot d vecs S & = iiint_ {B _ { tau}} text {div} vecs F , dV [4pt]
& approx iiint_ {B _ { tau}} text {div} vecs F (P) , dV [4pt]
& = text {div} vecs F (P) , V (B _ { tau}). end {align *} ]

(R ) radiusini chegara orqali nolga kamaytirsak, ( text {div} vecs F (P) , V (B _ { tau}) ) miqdori o'zboshimchalik bilan oqimga yaqinlashadi. Shuning uchun,

[ text {div} vecs F (P) = lim _ { tau rightarrow 0} frac {1} {V (B _ { tau})}} i iint_ {S _ { tau}} vecs F cdot d vecs S ]

va ((P )) divergentsiyani (P ) darajadagi birlik hajmiga qarab tashqi oqimning aniq tezligini o'lchash deb hisoblashimiz mumkin. "Tashqi oqim" birlik hajmiga to'g'ri keladigan tashqi oqim oqimining norasmiy atamasi bo'lganligi sababli, biz ilgari muhokama qilgan divergentsiyaning fizikaviy talqinini asosladik va bu asoslash uchun divergensiya teoremasidan foydalandik.

Elektrostatik maydonlarga qo'llash

Divergensiya teoremasi fizika va texnikada ko'plab qo'llanmalarga ega. Bu bizga ko'pgina fizik qonunlarni ham integral shaklda, ham differentsial shaklda yozishga imkon beradi (xuddi Stoks teoremasi Faradey qonunining integral va differentsial shakli o'rtasida tarjima qilishga imkon bergani kabi). Suyuqlik dinamikasi, elektromagnetizm va kvant mexanikasi kabi tadqiqot yo'nalishlari massa, impuls yoki energiyaning saqlanishini tavsiflovchi tenglamalarga ega va divergensiya teoremasi bu tenglamalarni ham integral, ham differentsial shaklda berishga imkon beradi.

Ajratish teoremasining eng keng tarqalgan qo'llanmalaridan biri bu elektrostatik maydonlar. Ushbu mavzudagi muhim natija Gauss qonuni. Ushbu qonun, agar (S ) elektrostatik maydonda yopiq sirt bo'lsa ( vecs E ), unda ( vecs E ) ning (S ) bo'ylab oqimi (bilan yopilgan) umumiy zaryad bo'ladi. S ) (elektr doimiysi bilan bo'linadi). Endi biz ushbu qonunning maxsus holatini asoslash uchun divergentsiya teoremasidan foydalanamiz, unda elektrostatik maydon boshida statsionar nuqta zaryadi bilan hosil bo'ladi.

Agar ((x, y, z) ) fazodagi nuqta bo'lsa, u holda nuqtadan boshigacha bo'lgan masofa (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ) bo'ladi. ( Vecs F _ { tau} ) radial vektor maydonini belgilaylik ( vecs F _ { tau} = dfrac {1} { tau ^ 2} left langle dfrac {x} { tau} , , dfrac {y} { tau}, , dfrac {z} { tau} right rangle ). Birlik radiusli vektor yo'nalishi bo'yicha kosmik nuqtalarda berilgan pozitsiyadagi vektor ( chap langle dfrac {x} { tau}, , dfrac {y} { tau}, , dfrac {z} { tau} right rangle ) va ( 1 / tau ^ 2 ). Shuning uchun ma'lum bir nuqtada vektorning kattaligi vektorning boshlanishidan masofasining kvadratiga teskari proportsionaldir. Deylik, vakuumda mavjud bo'lgan (q ) Coulomblarning statsionar zaryadi bor. Zaryad tomonidan berilgan ( vecs E ) elektrostatik maydon hosil qiladi

[ vecs E = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau}, ]

bu erda ( epsilon_0 = 8.854 marta 10 ^ {- 12} marta) farad (F) / m elektr doimiysi. ( ( Epsilon_0 ) doimiysi - bu vakuumda elektr maydon hosil qilishda uchraydigan qarshilik o'lchovidir.) E'tibor bering, ( vecs E ) - [link] da tasvirlangan tortishish maydoniga o'xshash radiusli vektor maydoni. . Farqi shundaki, bu maydon tashqi tomonga, tortishish maydoni esa ichki tomonga ishora qiladi. Chunki

[ vecs E = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau} = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} chap ( dfrac {1} { tau ^ 2} chap langle dfrac {x} { tau}, , dfrac {y} { tau}, , dfrac {z} { tau} right rangle right), ]

biz elektrostatik maydonlar teskari kvadrat qonuniga bo'ysunadi deymiz. Ya'ni, ma'lum bir nuqtada elektrostatik kuch zaryad manbasidan masofa kvadratiga teskari proportsionaldir (bu holda u boshida bo'ladi). Ushbu vektor maydonini hisobga olgan holda, biz zaryad (S ) ning tashqarisida bo'lsa, yopiq sirt bo'ylab oqim (nol) nolga teng, agar zaryad ichida bo'lsa, oqim (q / epsilon_0 ) ekanligini ko'rsatamiz. (S ). Boshqacha qilib aytganda, oqim S bu sirt ichidagi zaryad doimiy ( epsilon_0 ) ga bo'lingan. Bu Gauss qonunining alohida ishi va bu erda biz ushbu maxsus ishni asoslash uchun divergensiya teoremasidan foydalanamiz.

(S ) bo'ylab oqim sirt ichidagi zaryad ekanligini doimiy ( epsilon_0 ) ga bo'linganligini ko'rsatish uchun bizga ikkita oraliq qadam kerak. Dastlab biz ( vecs F _ { tau} ) ning divergentsiyasi nolga teng ekanligini ko'rsatamiz, so'ngra ( vecs F _ { tau} ) ning har qanday silliq sirt bo'ylab oqimi (S ) yoki nol yoki (4 pi ). Keyinchalik Gauss qonunining ushbu maxsus holatini oqlashimiz mumkin.

Misol ( PageIndex {4} ): (F _ { tau} ) ning farqliligi nolga teng

( Vecs F _ { tau} ) ning divergensiyasi nolga teng ekanligini tekshiring, bu erda ( vecs F _ { tau} ) aniqlangan (boshidan uzoqda).

Qaror

( Tau = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ) dan boshlab, qoida bizni beradi

[ begin {align *} dfrac { qismli} { qisman x} chap ( dfrac {x} { tau ^ 3} o'ng) & = dfrac { qismli} { qismli x} chap ( dfrac {x} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2}} o'ng) [4pt]
& = dfrac {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2} - x chap [ dfrac {3} {2} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {1/2} 2x o'ng]} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 3} [4pt]
& = dfrac { tau ^ 3 -3x ^ 2 tau} { tau ^ 6} = dfrac { tau ^ 2 - 3x ^ 2} { tau ^ 5}. end {align *} ]

Xuddi shunday,

[ dfrac { qismli} { qisman y} chap ( dfrac {y} { tau ^ 3} o'ng) = dfrac { tau ^ 2 - 3y ^ 2} { tau ^ 5} , va , dfrac { qismli} { qismli z} chap ( dfrac {z} { tau ^ 3} o'ng) = dfrac { tau ^ 2 - 3z ^ 2} { tau ^ 5 }. nonumber ]

Shuning uchun,

[ begin {align *} text {div} vecs F _ { tau} & = dfrac { tau ^ 2 - 3x ^ 2} { tau ^ 5} + dfrac { tau ^ 2 - 3y ^ 2} { tau ^ 5} + dfrac { tau ^ 2 - 3z ^ 2} { tau ^ 5} [4pt]
& = dfrac {3 tau ^ 2 - 3 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} { tau ^ 5} [4pt]
& = dfrac {3 tau ^ 2 - 3 tau ^ 2} { tau ^ 5} = 0. end {align *} ]

( Vecs F _ { tau} ) ning divergensiyasi nolga teng va ( vecs E ) ( vecs F _ { tau} ) doimiy bilan kattalashtirilganligi sababli elektrostatik maydonning divergensiyasi ga e'tibor bering. ( vecs E ) ham nolga teng (boshlanishidan tashqari).

Yumshoq sirt bo'ylab oqim

(S ) bog'langan, bo'lakcha tekis yopiq sirt bo'lsin va ( vecs F _ { tau} = dfrac {1} { tau ^ 2} left langle dfrac {x} { tau} bo'lsin. , , dfrac {y} { tau}, , dfrac {z} { tau} right rangle ). Keyin,

[ iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S = begin {case} 0, & text {if} S text {origin is not encry}} 4 pi, & text {if} S text {kelib chiqishni o'z ichiga oladi.} end {case} ]

Boshqacha qilib aytganda, ushbu teorema ( vecs F _ { tau} ) ning har qanday qismli silliq yopiq sirt bo'ylab (S ) oqimi faqat kelib chiqishi (S ) ning ichida bo'lishiga bog'liqligini aytadi.

Isbot

Ushbu dalilning mantiqi [link] mantig'iga amal qiladi, faqat biz Grin teoremasidan ko'ra divergentsiya teoremasidan foydalanamiz.

Birinchidan, (S ) kelib chiqishini o'z ichiga olmaydi deylik. Bu holda, (S ) bilan yopilgan qattiq narsa ( vecs F _ { tau} ) domenida bo'ladi va ( vecs F _ { tau} ) ning divergensiyasi nolga teng bo'lgani uchun, biz divergentsiya teoremasini darhol qo'llay oladi va [ iint_S vecs F cdot d vecs S ] nolga tengligini aniqlaydi.

Endi (S ) kelib chiqishini o'z ichiga oladi deb taxmin qiling. Oqimni hisoblash uchun biz shunchaki divergentsiya teoremasidan foydalana olmaymiz, chunki maydon boshida aniqlanmagan. (S_a ) radius sferasi bo'lsin a (S ) ning ichki tomoni boshida joylashgan. Sharsimon koordinatalarda sharning normal vektor maydoni quyidagicha

[ vecs t _ { phi} times vecs t _ { theta} = a ^ 2 cos theta , sin ^ 2 phi, , a ^ 2 sin theta , sin ^ 2 phi, , a ^ 2 sin phi , cos phi rangle ]

([havola] ga qarang). Shuning uchun shar yuzasida nuqta hosilasi ( vecs F _ { tau} cdot vecs N ) (sferik koordinatalarda)

[ begin {align *} vecs F _ { tau} cdot vecs N & = left langle dfrac { sin phi , cos theta} {a ^ 2}, , dfrac { sin phi , sin theta} {a ^ 2}, , dfrac { cos phi} {a ^ 2} right rangle cdot langle a ^ 2 cos theta , sin ^ 2 phi, a ^ 2 sin theta , sin ^ 2 phi, , a ^ 2 sin phi , cos phi rangle [4pt]
& = sin phi ( langle sin phi , cos theta, , sin phi , sin theta, , cos phi rangle cdot langle sin phi , cos theta, sin phi , sin theta, , cos phi rangle) [4pt]
& = sin phi. end {align *} ]

( Vecs F _ { tau} ) ning (S_a ) ga oqimi

[ iint_ {S_a} vecs F _ { tau} cdot vecs N dS = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi} sin phi , d phi , d theta = 4 pi. ]

Endi, bizni ( S_a ) bo'ylab oqim emas, balki (S ) bo'ylab oqim qiziqtirayotganini unutmang. (S ) bo'ylab oqimni hisoblash uchun (S ) va (S ) sirtlari orasidagi (E ) qattiq bo'lsin. Keyin, (E ) ning chegarasi (S_a ) va (S ) dan iborat. (S -) tashqi tomonga yo'naltirilganligini, ammo endi (S_a ) ichki tomonga yo'naltirilganligini ko'rsatish uchun ushbu chegarani (S - S_a ) bilan belgilang. Divergensiya teoremasini qattiq (E ) ga qo'llamoqchimiz. E'tibor bering, divergentsiya teoremasi, aytilganidek, (E ) kabi qattiq jismni boshqarolmaydi, chunki (E ) teshikka ega. Biroq, divergentsiya teoremasini teshiklari bo'lgan qattiq jismlar bilan ishlash uchun kengaytirish mumkin, xuddi Grin teoremasini teshiklari bo'lgan hududlarni boshqarish uchun kengaytirish mumkin. Bu bizga divergentsiya teoremasidan quyidagi usulda foydalanishimizga imkon beradi. Ajralish teoremasi bo'yicha

[ begin {align *} iint_ {S-S_a} vecs F _ { tau} cdot d vecs S & = iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S - iint_ {S_a } vecs F _ { tau} cdot d vecs S [4pt]
& = iiint_E text {div} vecs F _ { tau} , dV [4pt]
& = iiint_E 0 , dV = 0. end {align *} ]

Shuning uchun,

[ iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S = iint_ {S_a} vecs F _ { tau} cdot d vecs S = 4 pi, nonumber ]

va biz kerakli natijaga egamiz.

( Box )

Endi nuqta zaryadining elektrostatik maydoni ( vecs E = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau} ) kontekstida silliq sirt bo'ylab oqimni hisoblashga qaytamiz. kelib chiqishi. (S ) kelib chiqishini o'z ichiga olgan qismli silliq yopiq sirt bo'lsin. Keyin

[ begin {align *} iint_S vecs E cdot d vecs S & = iint_S dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau} cdot d vecs S [4pt]
& = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S [4pt]
& = dfrac {q} { epsilon_0}. end {align *} ]

Agar (S ) kelib chiqishni qamrab olmasa, u holda

[ iint_S vecs E cdot d vecs S = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S = 0. nonumber ]

Shuning uchun biz oqlash uchun aytgan da'voni oqladik: yopiq sirt bo'ylab oqim (S ) nolga teng, agar zaryad (S ) tashqarisida bo'lsa va oqim (q / epsilon_0 ) bo'lsa agar zaryad (S ) ichida bo'lsa.

Ushbu tahlil faqat boshlang'ich nuqtada bitta zaryad mavjud bo'lganda ishlaydi. Bunday holda, Gauss qonuni, ( vecs E ) ning (S ) bo'ylab oqishi, bu (S ) bilan yopilgan umumiy zaryad ekanligini aytadi. Gauss qonuni faqat bir nuqtali zaryadni emas, balki kosmosdagi bir nechta zaryadlangan qattiq moddalarni boshqarish uchun kengaytirilishi mumkin. Mantiq avvalgi tahlilga o'xshash, ammo ushbu matn doirasidan tashqarida. To'liq umumiylik bilan Gauss qonuni, agar $ (S ) $ qismli silliq yopiq sirt va (Q ) esa (S ) ichidagi zaryadning umumiy miqdori bo'lsa, u holda ( vecs E ning oqimi ) bo'ylab (S ) (Q / epsilon_0 ) bo'ladi.

Misol ( PageIndex {5} ): Gauss qonunidan foydalanish

Faraz qilaylik, kosmosda to'rtta statsionar nuqta zaryadlari bor, ularning hammasi 0,002 Kulon (C) zaryadga ega. Zaryadlar ((0,0,1), , (1,1,4), (-1,0,0) ) va ((- 2, -2,2) ) . ( Vecs E ) ushbu nuqta zaryadlari natijasida hosil bo'lgan elektrostatik maydonni belgilaylik. Agar (S ) radius (2 ) sfera tashqariga yo'naltirilgan va boshida markazlashgan bo'lsa, u holda toping

[ iint_S vecs E cdot d vecs S. nonumber ]

Qaror

Gauss qonuniga binoan, ( vecs E ) ning (S ) bo'ylab oqimi (S ) ning ichidagi umumiy zaryadni elektr doimiyiga bo'linadi. (S ) radiusi (2 ) bo'lganligi sababli, zaryadlarning faqat ikkitasi (S ) ning ichida ekanligiga e'tibor bering: (0,1,1) ) da zaryad va (( -1,0,0) ). Shuning uchun, (S ) bilan qoplangan umumiy zaryad (0,004 ) ga teng va Gauss qonuni bo'yicha,

[ iint_S vecs E cdot d vecs S = dfrac {0.004} {8.854 times 10 ^ {- 12}} taxminan 4.418 times 10 ^ 9 , V - m. nonumber ]

( PageIndex {4} ) mashqlari

(S ) sirt uchun oldingi misolni bajaring, ya'ni boshi markazida joylashgan va tashqariga yo'naltirilgan radiusi 4 sfera.

Maslahat

Gauss qonunidan foydalaning.

Javob

( taxminan 6.777 marta 10 ^ 9 )

divergensiya teoremasi
qiyin oqim integralini osonroq uch karra integralga aylantirish uchun ishlatiladigan teorema va aksincha
Gauss qonuni
agar S vakuumdagi bo'lakcha, silliq yopiq sirt va (Q ) - bu (S ) ichidagi umumiy statsionar zaryad, keyin (S ) bo'ylab elektrostatik maydonning oqimi (Q / epsilon_0 )
teskari kvadrat qonun
ma'lum bir nuqtada elektrostatik kuch zaryad manbasidan masofa kvadratiga teskari proportsionaldir


Videoni tomosha qiling: Александр Чирцов: ротор, дивергенция и градиент (Dekabr 2021).